Prove que
, onde
é o raio de curvatura da trajetória de uma partícula em movimento.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que o módulo do produto vetorial entre a velocidade
e a aceleração
de uma partícula é igual a
, onde
é o raio de curvatura da trajetória. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente relacionados à decomposição da aceleração e ao produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração
de uma partícula em movimento pode ser decomposta em duas partes:
- Aceleração tangencial (
): relacionada à variação da velocidade ao longo da trajetória. - Aceleração normal (
): relacionada à mudança de direção da velocidade, dependendo do raio de curvatura .
Matematicamente, isso é representado por:
onde
é o vetor unitário tangencial e
é o vetor unitário normal.
Passo 3
Sabemos que a velocidade
está na direção tangencial, então podemos escrever:
Aqui,
é o módulo da velocidade.
Passo 4
Agora, vamos analisar o produto vetorial
. Substituindo as expressões das velocidades e acelerações:
Distribuindo o produto vetorial:
Passo 5
Observamos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja,
. Portanto:
Como
e
são vetores unitários mutuamente perpendiculares, o módulo do produto vetorial
é 1. Assim:
Passo 6
Sabemos que a aceleração normal
está relacionada ao raio de curvatura
pela fórmula:
Substituindo na expressão anterior:
Resposta
Portanto, provamos que
.
Exercícios relacionados
Uma partícula se move num círculo de raio
. Se a velocidade escalar da partícula varia com o tempo de acordo com a equação
para que valor, ou valores de
o vetor aceleração forma um ângulo de
com o vetor velocidade?
Os dois grupos de vetores
e
são chamados de recíprocos se
e qualquer outro produto escalar misturado como
. Mostre que:
onde
.
Uma partícula move-se numa trajetória elíptica dada pela equação
. Encontre a velocidade escalar em função do tempo.
Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
e que o módulo da componente normal é