Prove que |v times a|=v^3 / rho, onde rho é o raio de curvatura da trajetória de uma partícula em movimento.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que o módulo do produto vetorial entre a velocidade v e a aceleração a de uma partícula é igual a v^3 / rho, onde rho é o raio de curvatura da trajetória. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente relacionados à decomposição da aceleração e ao produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração a de uma partícula em movimento pode ser decomposta em duas partes:
  1. Aceleração tangencial ( at): relacionada à variação da velocidade ao longo da trajetória.
  2. Aceleração normal ( an): relacionada à mudança de direção da velocidade, dependendo do raio de curvatura rho.
Matematicamente, isso é representado por:
a = at,t + an,n
onde t é o vetor unitário tangencial e n é o vetor unitário normal.

Passo 3

Sabemos que a velocidade v está na direção tangencial, então podemos escrever:
v = v,t
Aqui, v é o módulo da velocidade.

Passo 4

Agora, vamos analisar o produto vetorial v times a. Substituindo as expressões das velocidades e acelerações:
v times a = v,t times (at,t + an,n)
Distribuindo o produto vetorial:
v times a = v,at,(t times t) + v,an,(t times n)

Passo 5

Observamos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja, t times t = 0. Portanto:
v times a = v,an,(t times n)
Como t e n são vetores unitários mutuamente perpendiculares, o módulo do produto vetorial t times n é 1. Assim:
|v times a| = v,an

Passo 6

Sabemos que a aceleração normal an está relacionada ao raio de curvatura rho pela fórmula:
an = v^2rho
Substituindo na expressão anterior:
|v times a| = v cdot v^2rho = v^3rho

Resposta

Portanto, provamos que |v times a| = dfracv^3rho.

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