Prove que
, onde
é o raio de curvatura da trajetória de uma partícula em movimento.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que o módulo do produto vetorial entre a velocidade
e a aceleração
de uma partícula é igual a
, onde
é o raio de curvatura da trajetória. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente relacionados à decomposição da aceleração e ao produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração
de uma partícula em movimento pode ser decomposta em duas partes:
- Aceleração tangencial (
): relacionada à variação da velocidade ao longo da trajetória. - Aceleração normal (
): relacionada à mudança de direção da velocidade, dependendo do raio de curvatura .
Matematicamente, isso é representado por:
onde
é o vetor unitário tangencial e
é o vetor unitário normal.
Passo 3
Sabemos que a velocidade
está na direção tangencial, então podemos escrever:
Aqui,
é o módulo da velocidade.
Passo 4
Agora, vamos analisar o produto vetorial
. Substituindo as expressões das velocidades e acelerações:
Distribuindo o produto vetorial:
Passo 5
Observamos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja,
. Portanto:
Como
e
são vetores unitários mutuamente perpendiculares, o módulo do produto vetorial
é 1. Assim:
Passo 6
Sabemos que a aceleração normal
está relacionada ao raio de curvatura
pela fórmula:
Substituindo na expressão anterior:
Resposta
Portanto, provamos que
.