Prove que , onde é o raio de curvatura da trajetória de uma partícula em movimento.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que o módulo do produto vetorial entre a velocidade e a aceleração de uma partícula é igual a , onde é o raio de curvatura da trajetória. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente relacionados à decomposição da aceleração e ao produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração de uma partícula em movimento pode ser decomposta em duas partes:
  1. Aceleração tangencial ( ): relacionada à variação da velocidade ao longo da trajetória.
  2. Aceleração normal ( ): relacionada à mudança de direção da velocidade, dependendo do raio de curvatura .
Matematicamente, isso é representado por:
onde é o vetor unitário tangencial e é o vetor unitário normal.

Passo 3

Sabemos que a velocidade está na direção tangencial, então podemos escrever:
Aqui, é o módulo da velocidade.

Passo 4

Agora, vamos analisar o produto vetorial . Substituindo as expressões das velocidades e acelerações:
Distribuindo o produto vetorial:

Passo 5

Observamos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja, . Portanto:
Como e são vetores unitários mutuamente perpendiculares, o módulo do produto vetorial é 1. Assim:

Passo 6

Sabemos que a aceleração normal está relacionada ao raio de curvatura pela fórmula:
Substituindo na expressão anterior:

Resposta

Portanto, provamos que .

Exercícios relacionados

Uma partícula se move num círculo de raio . Se a velocidade escalar da partícula varia com o tempo de acordo com a equação para que valor, ou valores de o vetor aceleração forma um ângulo de com o vetor velocidade?
Os dois grupos de vetores e são chamados de recíprocos se e qualquer outro produto escalar misturado como . Mostre que:
onde .
Uma partícula move-se numa trajetória elíptica dada pela equação . Encontre a velocidade escalar em função do tempo.
Mostre que o módulo da componente tangencial da aceleração é dada pela expressão
e que o módulo da componente normal é