Resolva o P.V.I. .

Passo 1

Resumo do problema: Temos uma equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular para resolver este problema.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea: Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada . Para isso, encontramos as raízes do polinômio característico.
O polinômio característico é dado por:
Resolvendo:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 3

Encontrando a solução particular: Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o membro direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:

Passo 4

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Isso resulta em:
Mas isso não faz sentido, pois deveria ser uma constante. Então precisamos ajustar nossa tentativa.

Passo 5

Ajustando a tentativa para a solução particular: Como a primeira tentativa não funciona, tentamos uma forma diferente para a solução particular. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
  • Para :
  • Para as constantes: . Com , temos:
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

Escrevendo a solução geral: A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Passo 7

Aplicando as condições iniciais para encontrar e :
  1. Para :
  2. Derivando :
    Aplicando :
  3. Encontrando :

Passo 8

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução do P.V.I. é:

Exercícios relacionados

Dois lados de uma área triangular medem e , com possíveis erros de 10 cm . O ângulo entre esses lados é de , com possível erro de . Qual o erro aproximado da área?
Prove que é de ordem exponencial sempre que seja de ordem exponencial.
O comprimento e o período de um pêndulo simples estão relacionados pela equação . Se o valor de é calculado quando e , determine o erro cometido se, na realidade, e .
Ache a transformada de Laplace de cada uma das funções: ;