Resolva o P.V.I.
.
Passo 1
Resumo do problema: Temos uma equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução da equação homogênea e uma solução particular para resolver este problema.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea: Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada
. Para isso, encontramos as raízes do polinômio característico.
O polinômio característico é dado por:
Resolvendo:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 3
Encontrando a solução particular: Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o membro direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Isso resulta em:
Mas isso não faz sentido, pois
deveria ser uma constante. Então precisamos ajustar nossa tentativa.
Passo 5
Ajustando a tentativa para a solução particular: Como a primeira tentativa não funciona, tentamos uma forma diferente para a solução particular. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
- Para
: → - Para as constantes:
. Com , temos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Escrevendo a solução geral: A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Passo 7
Aplicando as condições iniciais para encontrar
e
:
-
Para
: -
Derivando
: Aplicando: -
Encontrando
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução do P.V.I. é:
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e
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e
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e
.
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;