Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3√2 cm e 5 cm e formam um ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede: *
a) 4
b) √11
c) 3
d) √13
e) 4√2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um paralelogramo com dois lados consecutivos medindo 3raiz2 cm e 5 cm, formando um ângulo de 45°. A gente vai usar conhecimentos de geometria sobre paralelogramos e trigonometria para achar a diagonal menor desse paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que num paralelogramo, as diagonais podem ser calculadas usando a fórmula:
d = raiza^2 + b^2 pm 2ab cos(theta)
Aqui, a e b são os lados do paralelogramo, e theta é o ângulo entre eles. O “ pm” indica que temos duas diagonais: uma é maior e a outra é menor, dependendo se somamos ou subtraímos o termo com o cosseno.

Passo 3

Como queremos a diagonal menor, usamos o sinal de subtração na fórmula. Então, a fórmula fica:
dmenor = raiza^2 + b^2 - 2ab cos(theta)

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos:
  • a = 3raiz2 cm
  • b = 5 cm
  • theta = 45°
Primeiro, vamos calcular cada parte:
a^2 = (3raiz2)^2 = 9 times 2 = 18
b^2 = 5^2 = 25
2ab = 2 times 3raiz2 times 5 = 30raiz2
E sabemos que cos(45°) = raiz22.

Passo 5

Agora, multiplicamos 2ab pelo cosseno do ângulo:
2ab cos(45°) = 30raiz2 times raiz22 = 30 times 22 = 30 times 1 = 30

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da diagonal menor:
dmenor = raiz18 + 25 - 30 = raiz43 - 30 = raiz13

Resposta

A diagonal menor mede raiz13 centímetros. Opção d)

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