Dois pares de partículas idênticas e inicialmente em repouso são ligadas por dois fios que exercem tração constante, ambas de módulo
, nas partículas de suas terminações. Os fios são perpendiculares e se encontram em seus pontos médios. Um deles tem comprimento
e o outro
. Sabendo que as 4 partículas têm massa de repouso
e estão inicialmente paradas, qual a massa
da partícula resultante da fusão destas 4? Qual a razão dos tempos das duas colisões que ocorrem? Isso cresce ou diminui com
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cordas perpendiculares que se encontram no meio, cada uma esticada com uma tração constante de módulo
. Uma corda tem comprimento
e a outra
. Em cada extremidade dessas cordas, há partículas idênticas de massa
inicialmente paradas. O exercício quer saber duas coisas:
- Qual a massa
da partícula que resulta da fusão dessas 4 partículas. - Qual a razão entre os tempos das duas colisões que acontecem e se essa razão aumenta ou diminui com o aumento de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como conservação de quantidade de movimento e talvez energia, além de entender como as forças
influenciam no movimento das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira parte: encontrar a massa
da partícula resultante da fusão das 4 partículas.
Quando partículas se fundem, suas massas se somam (assumindo que não há perda significativa de massa, o que é uma boa aproximação aqui). Temos 4 partículas, cada uma com massa
, então a massa total
será:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: a razão entre os tempos das duas colisões que ocorrem e como isso depende de
.
Primeiro, precisamos entender como as forças
afetam o movimento das partículas. As cordas aplicam uma tração constante
em cada partícula. Vamos analisar o movimento das partículas ligadas nas cordas de comprimento
e
separadamente.
Para a corda de comprimento
:
- A aceleração
das partículas será dada pela segunda lei de Newton:
Para a corda de comprimento
:
- A aceleração
das partículas será:
Note que, apesar dos comprimentos diferentes, a aceleração inicial devido à tração
é a mesma para ambas as partículas.
Passo 4
Agora, vamos considerar o tempo que cada partícula leva para alcançar o ponto de colisão.
Para a corda de comprimento
:
- A distância que uma partícula percorre até o ponto de encontro é
. - Usando a equação do movimento:
Onde
, então:
Resolvendo para
:
Para a corda de comprimento
:
- A distância até o ponto de encontro é
. - Aplicando a mesma equação:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a razão entre os tempos das duas colisões, ou seja,
:
Isso significa que o tempo da segunda colisão é
vezes o tempo da primeira colisão.
Passo 6
Por fim, vamos ver como essa razão depende de
. Observando a expressão para
e
, vemos que ambos os tempos são inversamente proporcionais à raiz quadrada de
:
Mesmo assim, a razão
é uma constante e não depende de
. Portanto, a razão dos tempos das duas colisões não cresce nem diminui com
; ela permanece sempre igual a
.
Resposta
A massa
da partícula resultante da fusão das 4 partículas é
. A razão dos tempos das duas colisões é
e essa razão não depende de
, ou seja, não cresce nem diminui com o aumento da tração
.