Dois pares de partículas idênticas e inicialmente em repouso são ligadas por dois fios que exercem tração constante, ambas de módulo T, nas partículas de suas terminações. Os fios são perpendiculares e se encontram em seus pontos médios. Um deles tem comprimento 2 l e o outro 4 l. Sabendo que as 4 partículas têm massa de repouso m0 e estão inicialmente paradas, qual a massa M da partícula resultante da fusão destas 4? Qual a razão dos tempos das duas colisões que ocorrem? Isso cresce ou diminui com T ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cordas perpendiculares que se encontram no meio, cada uma esticada com uma tração constante de módulo . Uma corda tem comprimento e a outra . Em cada extremidade dessas cordas, há partículas idênticas de massa inicialmente paradas. O exercício quer saber duas coisas:
  1. Qual a massa da partícula que resulta da fusão dessas 4 partículas.
  2. Qual a razão entre os tempos das duas colisões que acontecem e se essa razão aumenta ou diminui com o aumento de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como conservação de quantidade de movimento e talvez energia, além de entender como as forças influenciam no movimento das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte: encontrar a massa M = 4m0 da partícula resultante da fusão das 4 partículas.
Quando partículas se fundem, suas massas se somam (assumindo que não há perda significativa de massa, o que é uma boa aproximação aqui). Temos 4 partículas, cada uma com massa , então a massa total será:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: a razão entre os tempos das duas colisões que ocorrem e como isso depende de a1 = Tm0 .
Primeiro, precisamos entender como as forças a2 = Tm0 afetam o movimento das partículas. As cordas aplicam uma tração constante em cada partícula. Vamos analisar o movimento das partículas ligadas nas cordas de comprimento e separadamente.
Para a corda de comprimento :
  • A aceleração das partículas será dada pela segunda lei de Newton:
Para a corda de comprimento :
  • A aceleração das partículas será:
Note que, apesar dos comprimentos diferentes, a aceleração inicial devido à tração é a mesma para ambas as partículas.

Passo 4

Agora, vamos considerar o tempo que cada partícula leva para alcançar o ponto de colisão.
Para a corda de comprimento s = 12 a t^2 :
  • A distância que uma partícula percorre até o ponto de encontro é l = 12 ( Tm0 ) t1^2 .
  • Usando a equação do movimento:
t1 = raiz 2l m0T
Onde 2l = 12 ( Tm0 ) t2^2 , então:
t2 = raiz 4l m0T = raiz2 cdot raiz 2l m0T = raiz2 cdot t1
Resolvendo para :
Para a corda de comprimento :
  • A distância até o ponto de encontro é .
  • Aplicando a mesma equação:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a razão entre os tempos das duas colisões, ou seja, t2t1 = raiz2 cdot t1t1 = raiz2 :
Isso significa que o tempo da segunda colisão é vezes o tempo da primeira colisão.

Passo 6

Por fim, vamos ver como essa razão depende de t1 = raiz 2l m0T , t2 = raiz 4l m0T . Observando a expressão para e , vemos que ambos os tempos são inversamente proporcionais à raiz quadrada de :
Mesmo assim, a razão é uma constante e não depende de . Portanto, a razão dos tempos das duas colisões não cresce nem diminui com ; ela permanece sempre igual a .

Resposta

A massa da partícula resultante da fusão das 4 partículas é . A razão dos tempos das duas colisões é e essa razão não depende de , ou seja, não cresce nem diminui com o aumento da tração .

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