(Somente para masoquistas) Uma partícula carregada de massa desconhecida
e momento
muito maior que a massa do elétron
, cruza um detector. A uma certa profundidade dentro do material ativo, um elétron atômico é espalhado pela partícula por um ângulo
em relação ao momento
, e a energia do elétron espalhado
é medida. Mostre que a massa
pode ser estimada a partir da seguinte fórmula (
):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula carregada com massa desconhecida
e um momento
bem maior que a massa do elétron
. Ela atravessa um detector e, dentro do material ativo, espalha um elétron atômico em um ângulo
em relação ao seu momento. Medimos a energia desse elétron espalhado
. Nosso objetivo é descobrir uma fórmula que estime a massa
dessa partícula com base nesses dados. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de momento e energia na física de partículas, além de um pouco de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na conservação do momento linear durante o espalhamento. A partícula carregada e o elétron interagem, e o momento total antes e depois da colisão deve ser o mesmo. Como a partícula tem um momento muito maior que o do elétron, podemos simplificar assumindo que o momento inicial da partícula praticamente não muda.
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia do sistema. A energia total antes da colisão é principalmente a energia cinética da partícula carregada, já que o elétron está inicialmente em repouso. Após o espalhamento, a energia é dividida entre a partícula carregada e o elétron espalhado. Usando a conservação de energia, podemos relacionar essas quantidades.
Passo 4
Vamos usar a relação entre energia e momento para partículas relativísticas, que é
(com
). Para a partícula carregada após o espalhamento, a energia será
. No entanto, como
é muito maior que
, podemos simplificar essa expressão mais tarde.
Passo 5
Considerando a conservação de momento nas direções paralela e perpendicular ao momento inicial da partícula, podemos escrever duas equações. A componente paralela permanece praticamente a mesma, e a componente perpendicular está relacionada ao espalhamento no ângulo
. Isso nos leva a uma relação trigonométrica que envolve
.
Passo 6
Combinando as equações de conservação de energia e momento, e resolvendo para
, conseguimos isolar a massa desconhecida. Isso envolve manipular as expressões algébricas e aplicar identidades trigonométricas para simplificar a fórmula.
Resposta
Finalmente, isolando
na equação, obtemos: