Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade vC M no sentido positivo do eixo horizontal O X. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo Fe sentido contrário ao eixo OX. A distância d percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: © 25 M vC M^2F;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera que está rolando sem deslizar numa superfície horizontal com uma certa velocidade no eixo . De repente, aplica-se uma força horizontal constante no centro de massa da esfera, mas na direção oposta ao movimento. A pergunta é: quanto essa esfera vai percorrer até que sua velocidade angular pare? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e energia cinética. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo. A esfera está rolando sem deslizar, o que significa que a velocidade linear vCM = omega R e a velocidade angular estão relacionadas pela condição de rolamento sem deslize:
onde é o raio da esfera.

Passo 3

Quando a força é aplicada no centro de massa na direção oposta ao movimento, ela causa uma desaceleração tanto na velocidade linear quanto na velocidade angular da esfera. Precisamos encontrar a distância que a esfera percorre até que a velocidade angular se anule, ou seja, até que .

Passo 4

Vamos calcular a desaceleração linear causada pela força Fe = M a . Pela segunda lei de Newton:
a = -FeM
onde é a massa da esfera e é a aceleração linear. Como a força está na direção oposta ao movimento, a aceleração será negativa:

Passo 5

Agora, vamos considerar o torque ( tau = Fe cdot R ) causado pela força tau = I alpha para calcular a desaceleração angular. O torque é dado por:
I = 25 M R^2
A relação entre torque e aceleração angular ( Fe cdot R = 25 M R^2 alpha ) é:
alpha = 5 Fe2 M R
onde é o momento de inércia da esfera. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Então:
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que a condição para a velocidade angular se anular é quando a velocidade angular inicial omega = omega0 + alpha t diminui até zero. Usando a equação do movimento rotacional:
0 = omega0 + (-5 Fe2 M R) t
Queremos t = 2 M R omega05 Fe , então:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, vamos relacionar a velocidade linear e angular inicial. Como t = 2 M R (vCMR)5 Fe = 2 M vCM5 Fe , podemos substituir por :

Passo 8

Finalmente, para encontrar a distância d = vCM t + 12 a t^2 percorrida durante esse tempo, usamos a equação do movimento linear com aceleração constante:
d = vCM (2 M vCM5 Fe) + 12 (-FeM) (2 M vCM5 Fe)^2
Substituindo d = 2 M vCM^25 Fe - 12 cdot FeM cdot 4 M^2 vCM^225 Fe^2 = 25 cdot M vCM^2Fe e :
Simplificando:

Resposta

A distância percorrida pela esfera até que sua velocidade angular se anule é:
d = 25 cdot M vCM^2Fe

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