Uma esfera rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal plana com velocidade
no sentido positivo do eixo horizontal
. Num dado instante aplica-se no seu centro de massa uma força horizontal constante de módulo Fe sentido contrário ao eixo OX. A distância
percorrida pela esfera até que a sua velocidade angular se anule será igual a: ©
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera que está rolando sem deslizar numa superfície horizontal com uma certa velocidade no eixo
. De repente, aplica-se uma força horizontal constante no centro de massa da esfera, mas na direção oposta ao movimento. A pergunta é: quanto essa esfera vai percorrer até que sua velocidade angular pare? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e energia cinética. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está acontecendo. A esfera está rolando sem deslizar, o que significa que a velocidade linear
e a velocidade angular
estão relacionadas pela condição de rolamento sem deslize:
onde
é o raio da esfera.
Passo 3
Quando a força
é aplicada no centro de massa na direção oposta ao movimento, ela causa uma desaceleração tanto na velocidade linear quanto na velocidade angular da esfera. Precisamos encontrar a distância
que a esfera percorre até que a velocidade angular se anule, ou seja, até que
.
Passo 4
Vamos calcular a desaceleração linear causada pela força
. Pela segunda lei de Newton:
onde
é a massa da esfera e
é a aceleração linear. Como a força está na direção oposta ao movimento, a aceleração será negativa:
Passo 5
Agora, vamos considerar o torque (
) causado pela força
para calcular a desaceleração angular. O torque é dado por:
A relação entre torque e aceleração angular (
) é:
onde
é o momento de inércia da esfera. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Então:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que a condição para a velocidade angular se anular é quando a velocidade angular inicial
diminui até zero. Usando a equação do movimento rotacional:
Queremos
, então:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, vamos relacionar a velocidade linear e angular inicial. Como
, podemos substituir
por
:
Passo 8
Finalmente, para encontrar a distância
percorrida durante esse tempo, usamos a equação do movimento linear com aceleração constante:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Resposta
A distância percorrida pela esfera até que sua velocidade angular se anule é: