Uma espira circular feita com material de resistência elétrica R, com raio a, gira em tomo do seu diâmetro, ao longo do eixo x, com velocidade angular constante omega, em uma região onde existe um campo magnético uniforme B=B0 z, perpendicular ao eixo de rotação. Considere circ instante inicial t=0 o instante de tempo no qual o plano da espira é perpendicular ao campo magnético.
(a) Calcule a corrente elétrica I(t) induzida na espira.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira circular com resistência elétrica e raio , que está girando ao redor do seu diâmetro ao longo do eixo com velocidade angular constante . Essa espira está em um campo magnético uniforme , perpendicular ao eixo de rotação. No instante inicial , o plano da espira está perpendicular ao campo magnético. Precisamos calcular a corrente elétrica que é induzida na espira ao longo do tempo. Para isso, vamos usar a Lei de Faraday da indução eletromagnética e a Lei de Ohm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que diz que uma força eletromotriz (f.e.m.) é induzida em um circuito quando há variação do fluxo magnético através dele. A fórmula da Lei de Faraday é:
E = -dPhidt
onde é a f.e.m. induzida e é o fluxo magnético.

Passo 3

O fluxo magnético Phi = B cdot A através da espira é dado por:
Aqui, é o vetor área da espira, que depende da orientação da espira em relação ao campo magnético.

Passo 4

Como a espira está girando com velocidade angular constante , o ângulo entre o plano da espira e o campo magnético varia com o tempo. Podemos expressar esse ângulo como .

Passo 5

O vetor área A = A cdot cos(theta(t)) z da espira, que tem magnitude Phi(t) = B0 cdot pi a^2 cdot cos(omega t) , está orientado de forma que:
Portanto, o fluxo magnético fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a f.e.m. induzida usando a Lei de Faraday:
E(t) = -dPhidt = -ddt ( B0 pi a^2 cos(omega t) )
Derivando em relação ao tempo:
E(t) = B0 pi a^2 omega sin(omega t)

Passo 7

Com a f.e.m. conhecida, podemos usar a Lei de Ohm para encontrar a corrente induzida na espira:
I(t) = E(t)R = B0 pi a^2 omegaR sin(omega t)

Resposta

A corrente elétrica induzida na espira é:
I(t) = B0 pi a^2 omegaR sin(omega t)

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