Dois postes apoiam a viga rígida, cada um tendo largura d, espessura d e comprimento L . Supondo que o módulo de elasticidade do material A seja EA, que o módulo de elasticidade do material B seja EB, determine a distância x para aplicar a força P, de modo que a viga permaneça na horizontal. R.: x=EB h /(EA+EB)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos uma viga rígida apoiada por dois postes feitos de materiais diferentes, A e B. Cada poste tem largura d, espessura d e comprimento L. Sabemos os módulos de elasticidade desses materiais, EA e EB. A missão é descobrir onde aplicar uma força P na viga, a uma distância x de um dos postes, para que a viga fique na horizontal, sem inclinar para nenhum lado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o módulo de elasticidade. Ele mede a rigidez de um material, ou seja, quão fácil ou difícil ele é de ser deformado quando uma força é aplicada. Material com E alto é mais rígido.

Passo 3

Para a viga ficar na horizontal, as deformações dos dois postes precisam se equilibrar. Isso significa que a deformação no poste A deve ser igual à deformação no poste B.

Passo 4

A fórmula para a deformação ( de) de um material sob uma força é dada por:
de
Onde:
  • P é a força aplicada,
  • L é o comprimento do material,
  • A é a área da seção transversal,
  • E é o módulo de elasticidade.

Passo 5

Como os postes têm largura d e espessura d, a área da seção transversal A de cada poste é:
A = d cdot d = d^2

Passo 6

Vamos chamar a força que age no poste A de PA e no poste B de PB. Para a viga ficar na horizontal, precisamos que as deformações sejam iguais:
PA cdot Ld^2 cdot EA = PB cdot Ld^2 cdot EB

Passo 7

Como a viga está em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero. Então:
P = PA + PB

Passo 8

Utilizando a equação da Passo 6, podemos relacionar PA e PB:
PAEA = PBEB
Isso implica que:
PA = P cdot EAEA + EB
PB = P cdot EBEA + EB

Passo 9

Agora, para encontrar a posição x onde aplicar a força P, consideramos que o momento provocado pela força P deve equilibrar os momentos dos postes. Isso leva à relação entre x e os módulos de elasticidade:
x = EB cdot hEA + EB

Resposta

A distância x para aplicar a força P, de modo que a viga permaneça na horizontal, é:
x = EB cdot hEA + EB

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