Dois reservatórios que abastecem uma propriedade agrícola estão interligados por um encanamento de ferro fundido usado ( n=0,015 ), com 8 Km de comprimento. Um está localizado na cota 186,0 m e outro na cota 166,0 m. Pede-se:
a) o diâmetro teórico da tubulação para que o reservatório mais elevado forneça ao outro cerca de 2.635 m^3, em 12 horas de operação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos dois reservatórios que abastecem uma propriedade agrícola, conectados por um encanamento de ferro fundido com comprimento de 8 km e fator de atrito n=0,015. Um reservatório está na cota de 186,0 m e o outro na cota de 166,0 m. A pergunta é sobre determinar o diâmetro teórico da tubulação necessário para que o reservatório mais alto forneça cerca de 2.635 m^3 em 12 horas de operação.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica de fluidos, especificamente a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga em tubulações. Vamos também precisar converter as unidades de tempo e volume para serem compatíveis com as fórmulas que vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o volume total que será fornecido em 12 horas para uma taxa de fluxo. Sabemos que:
Q = Vt
onde:
  • V = 2.635 m^3 é o volume
  • t = 12 horas é o tempo
Vamos converter o tempo para segundos para usar nas fórmulas de fluxo que usualmente trabalham com segundos:
t = 12 times 3600 = 43.200 s
Então, a taxa de fluxo será:
Q = 2.63543.200 approx 0,000061 m^3/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de elevação entre os dois reservatórios, que é a força motriz para o fluxo de água:
De

Passo 4

Vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga na tubulação:
De
onde:
  • De é a perda de carga (20,0 m)
  • f é o fator de atrito (0,015)
  • L é o comprimento da tubulação (8 km = 8000 m)
  • D é o diâmetro da tubulação (o que queremos encontrar)
  • v é a velocidade do fluxo
  • g é a aceleração devido à gravidade ( 9,81 m/s^2)
Nos falta relacionar a velocidade v com a taxa de fluxo Q. Sabemos que:
Q = A cdot v
onde A é a área da seção transversal da tubulação:
A = pi D^24
Então, podemos expressar v em termos de Q e D:
v = 4Qpi D^2

Passo 5

Substituindo v na equação de Darcy-Weisbach:
De
Simplificando:
De
De

Passo 6

Agora, rearranjamos a equação para resolver para D:
D^5 = 8f L Q^2pi^2 g De
Então:
D = ( 8f L Q^2pi^2 g De

Passo 7

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
  • f = 0,015
  • L = 8000 m
  • Q = 0,000061 m^3/s
  • g = 9,81 m/s^2
  • De
D = ( 8 times 0,015 times 8000 times (0,000061)^2pi^2 times 9,81 times 20,0 )^1/5

Passo 8

Calculando o numerador:
8 times 0,015 times 8000 times (0,000061)^2 = 8 times 0,015 times 8000 times 3,721 times 10^-9 approx 0,00358
Calculando o denominador:
pi^2 times 9,81 times 20,0 approx 9,8696 times 9,81 times 20 approx 1940,27
Então:
D = ( 0,003581940,27 )^1/5 = ( 1,844 times 10^-6 )^1/5

Passo 9

Calculando a raiz quinta:
D approx (1,844 times 10^-6)^0,2 approx 0,020 m
Convertendo para milímetros:
D approx 20 mm

Resposta

O diâmetro teórico da tubulação necessário é de aproximadamente 20 mm.

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