Dois reservatórios que abastecem uma propriedade agrícola estão interligados por um encanamento de ferro fundido usado ( ), com 8 Km de comprimento. Um está localizado na cota 186,0 m e outro na cota 166,0 m. Pede-se:
a) o diâmetro teórico da tubulação para que o reservatório mais elevado forneça ao outro cerca de , em 12 horas de operação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos dois reservatórios que abastecem uma propriedade agrícola, conectados por um encanamento de ferro fundido com comprimento de 8 km e fator de atrito . Um reservatório está na cota de 186,0 m e o outro na cota de 166,0 m. A pergunta é sobre determinar o diâmetro teórico da tubulação necessário para que o reservatório mais alto forneça cerca de em 12 horas de operação.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica de fluidos, especificamente a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga em tubulações. Vamos também precisar converter as unidades de tempo e volume para serem compatíveis com as fórmulas que vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o volume total que será fornecido em 12 horas para uma taxa de fluxo. Sabemos que:
onde:
  • é o volume
  • é o tempo
Vamos converter o tempo para segundos para usar nas fórmulas de fluxo que usualmente trabalham com segundos:
Então, a taxa de fluxo será:

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de elevação entre os dois reservatórios, que é a força motriz para o fluxo de água:

Passo 4

Vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga na tubulação:
onde:
  • é a perda de carga (20,0 m)
  • é o fator de atrito (0,015)
  • é o comprimento da tubulação (8 km = 8000 m)
  • é o diâmetro da tubulação (o que queremos encontrar)
  • é a velocidade do fluxo
  • é a aceleração devido à gravidade ( )
Nos falta relacionar a velocidade com a taxa de fluxo . Sabemos que:
onde é a área da seção transversal da tubulação:
Então, podemos expressar em termos de e :

Passo 5

Substituindo na equação de Darcy-Weisbach:
Simplificando:

Passo 6

Agora, rearranjamos a equação para resolver para :
Então:

Passo 7

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:

Passo 8

Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 9

Calculando a raiz quinta:
Convertendo para milímetros:

Resposta

O diâmetro teórico da tubulação necessário é de aproximadamente 20 mm.

Exercícios relacionados

Uma estação elevatória recalca de água através de uma canalização antiga, de aço. De 500mm de diâmetro e 1600m de extensão. Estimar a redução na perda de carga que será feita, quando essa canalização for substituída por uma linha nova, de aço, com revestimento interno especial. Usar a apresentação Americana da equação de Darcy.
Para os campos de velocidade dados abaixo, determine (as quantidades e são constantes):
i. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
Para cada grandeza física listada, indique as dimensões usando a massa como dimensão primária, e dê as unidades SI típicas:
(h) Quantidade de movimento angular
Através da fórmula de Darcy, calcular a perda de carga devida ao escoamento de 22,5 l/s de óleo pesado, , com um coeficiente de viscosidade cinemática , através de uma canalização de aço de 6 polegadas de diâmetro nominal e 6.100 m de extensão.
R: 197,24 mca