Dois reservatórios cilíndricos idênticos com suas bases a ur mesmo nível contêm um líquido com massa específica
. 2 área de ambas as bases é
, porém, em um dos reservatór os, a altura do líquido é
e no outro é
. Determine o trabalho realizado pela gravidade para igualar os níveis quando os dois reservatórios forem interligados.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois reservatórios cilíndricos iguais, com áreas de base iguais a
. Ambos estão na mesma altura, mas a quantidade de líquido em cada um está diferente: um tem altura
e o outro
. A massa específica do líquido é
. A pergunta é: qual é o trabalho realizado pela gravidade para igualar os níveis de líquido quando os dois reservatórios são conectados?
Aqui, vamos precisar saber um pouco sobre trabalho em física e como a energia potencial está envolvida nos líquidos que se movem entre reservatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando conectamos os dois reservatórios, o líquido vai fluir de um para o outro até que as alturas fiquem iguais. Isso acontece por causa da diferença de energia potencial gravitacional entre os níveis de líquido nos reservatórios.
Vamos chamar de
a altura final do líquido em ambos os reservatórios depois da equalização.
Passo 3
Como os reservatórios são iguais e a área das bases é
, podemos calcular o volume total de líquido antes da conexão:
Após a equalização, o volume total permanece o mesmo, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela gravidade. Esse trabalho corresponde à mudança na energia potencial gravitacional do sistema.
A energia potencial de um reservatório é dada por:
Portanto, a energia potencial total inicial dos dois reservatórios é:
E a energia potencial final após a equalização é:
Passo 5
O trabalho realizado pela gravidade será a diferença entre a energia potencial inicial e a final:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
O trabalho realizado pela gravidade para igualar os níveis nos reservatórios é: