Dois reservatórios cilíndricos idênticos com suas bases a ur mesmo nível contêm um líquido com massa específica rho. 2 área de ambas as bases é A, porém, em um dos reservatór os, a altura do líquido é h1 e no outro é h2. Determine o trabalho realizado pela gravidade para igualar os níveis quando os dois reservatórios forem interligados.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois reservatórios cilíndricos iguais, com áreas de base iguais a . Ambos estão na mesma altura, mas a quantidade de líquido em cada um está diferente: um tem altura e o outro . A massa específica do líquido é . A pergunta é: qual é o trabalho realizado pela gravidade para igualar os níveis de líquido quando os dois reservatórios são conectados?
Aqui, vamos precisar saber um pouco sobre trabalho em física e como a energia potencial está envolvida nos líquidos que se movem entre reservatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando conectamos os dois reservatórios, o líquido vai fluir de um para o outro até que as alturas fiquem iguais. Isso acontece por causa da diferença de energia potencial gravitacional entre os níveis de líquido nos reservatórios.
Vamos chamar de a altura final do líquido em ambos os reservatórios depois da equalização.

Passo 3

Como os reservatórios são iguais e a área das bases é Vtotal = A h1 + A h2 = A (h1 + h2) , podemos calcular o volume total de líquido antes da conexão:
2 A hf = A (h1 + h2)
Após a equalização, o volume total permanece o mesmo, então:
hf = h1 + h22
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela gravidade. Esse trabalho corresponde à mudança na energia potencial gravitacional do sistema.
A energia potencial de um reservatório é dada por:
U = rho g A integral0^h h' , dh' = rho g A [ h'^22 ]0^h = 12 rho g A h^2
Portanto, a energia potencial total inicial dos dois reservatórios é:
Uinicial = 12 rho g A h1^2 + 12 rho g A h2^2
E a energia potencial final após a equalização é:
Ufinal = 2 times 12 rho g A hf^2 = rho g A hf^2

Passo 5

O trabalho realizado pela gravidade será a diferença entre a energia potencial inicial e a final:
W = Uinicial - Ufinal = 12 rho g A h1^2 + 12 rho g A h2^2 - rho g A hf^2
Substituindo W = 12 rho g A h1^2 + 12 rho g A h2^2 - rho g A ( h1 + h22 )^2 :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
W = 12 rho g A (h1^2 + h2^2) - rho g A (h1 + h2)^24
W = 12 rho g A (h1^2 + h2^2) - 14 rho g A (h1^2 + 2 h1 h2 + h2^2)
W = 24 rho g A (h1^2 + h2^2) - 14 rho g A (h1^2 + 2 h1 h2 + h2^2)
W = 2 h1^2 + 2 h2^2 - h1^2 - 2 h1 h2 - h2^24 rho g A
W = h1^2 + h2^2 - 2 h1 h24 rho g A
W = (h1 - h2)^24 rho g A

Resposta

O trabalho realizado pela gravidade para igualar os níveis nos reservatórios é:
W = (h1 - h2)^24 rho g A

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