Dois reservatórios estâo ligados por três tubos de aço comercial em série com L 1=305 me D1=20 cm ; L 2=366 m e D 2=30 cm e L 3=1220 m e D 3=46 cm. Considerando água ( mu=1 x 10^-3 Kg / m^* s e rho=1000 kg / m^3 ) com uma vazão de 85 L / s, determine o desnivel ( De ) entre os reservatórios. Ambos os reservatórios estão abertos para a atmosfera. A saída e a entrada dos reservatórios são em aresta viva. Considere as velocidades com as quais os niveis de água dos reservatórios se deslocam pequenas o suficiente para serem irrelevantes. Considere o coeficiente de perda localizada das expansões igual a 0,04 baseado no tubo de menor diâmetro.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre dois reservatórios conectados por três tubos de aço em série. A gente precisa descobrir a diferença de altura (desnível, De) entre esses reservatórios para que a água flua com uma vazão de 85 L/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Bernoulli e as perdas de carga nos tubos. Vamos precisar conhecer as propriedades da água, os comprimentos e diâmetros dos tubos, e considerar as perdas devido a expansões e contrações nos tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a vazão de litros por segundo para metros cúbicos por segundo, porque nosso sistema usa unidades do SI. Sabemos que 1 L = 0,001 m^3, então:
Q = 85 L/s = 85 times 0,001 = 0,085 m^3/s

Passo 3

Agora, precisamos achar a velocidade da água em cada tubo. A velocidade ( v) é igual à vazão ( Q) dividida pela área da seção transversal ( A) do tubo. A área é calculada por:
A = pi D^24
Vamos calcular A para cada tubo:
  • Para o tubo 1 ( D1 = 0,20 m):
    A1 = pi (0,20)^24 = 0,0314 m^2
  • Para o tubo 2 ( D2 = 0,30 m):
    A2 = pi (0,30)^24 = 0,0707 m^2
  • Para o tubo 3 ( D3 = 0,46 m):
    A3 = pi (0,46)^24 = 0,1662 m^2

Passo 4

Com as áreas, calculamos as velocidades:
v = QA
  • Velocidade no tubo 1:
    v1 = 0,0850,0314 approx 2,71 m/s
  • Velocidade no tubo 2:
    v2 = 0,0850,0707 approx 1,20 m/s
  • Velocidade no tubo 3:
    v3 = 0,0850,1662 approx 0,51 m/s

Passo 5

Agora, vamos considerar as perdas de carga nos tubos. Usamos a equação de Darcy-Weisbach:
hf = f LD v^22g
Onde:
  • hf é a perda de carga,
  • f é o fator de atrito,
  • L é o comprimento do tubo,
  • D é o diâmetro,
  • v é a velocidade,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2).
Primeiro, precisamos encontrar o fator de atrito f para cada tubo. Podemos usar a fórmula de Swamee-Jain para estimar f:
f = 0,25[log10(epsilon3,7D + 5,74Re^0,9)]^2
Assumindo que as rugosidades são pequenas para tubos de aço comercial e podemos desconsiderar epsilon, então simplificamos para:
f = 0,25[log10(5,74Re^0,9)]^2
O número de Reynolds ( Re) é:
Re = rho v Dmu
Vamos calcular Re para cada tubo.

Passo 6

Calculando o número de Reynolds para cada tubo:
Re = 1000 times v times D0,001
  • Para o tubo 1:
    Re1 = 1000 times 2,71 times 0,200,001 = 542000
  • Para o tubo 2:
    Re2 = 1000 times 1,20 times 0,300,001 = 360000
  • Para o tubo 3:
    Re3 = 1000 times 0,51 times 0,460,001 = 234600
Esses valores indicam fluxo turbulento, então a fórmula de Swamee-Jain é adequada.

Passo 7

Agora, calculamos o fator de atrito f usando os valores de Re:
  • Para o tubo 1:
    f1 = 0,25[log10(5,74542000^0,9)]^2 approx 0,015
  • Para o tubo 2:
    f2 = 0,25[log10(5,74360000^0,9)]^2 approx 0,015
  • Para o tubo 3:
    f3 = 0,25[log10(5,74234600^0,9)]^2 approx 0,015

Passo 8

Com os fatores de atrito, calculamos as perdas de carga em cada tubo:
hf = f LD v^22g
  • Para o tubo 1:
    hf1 = 0,015 times 3050,20 times 2,71^22 times 9,81 approx 3,51 m
  • Para o tubo 2:
    hf2 = 0,015 times 3660,30 times 1,20^22 times 9,81 approx 0,45 m
  • Para o tubo 3:
    hf3 = 0,015 times 12200,46 times 0,51^22 times 9,81 approx 0,12 m

Passo 9

Além das perdas por atrito nos tubos, temos perdas localizadas devido às expansões e contrações. A perda localizada ( hL) é dada por:
hL = K v^22g
Onde K = 0,04 (dado no problema). Usamos a velocidade no tubo de menor diâmetro ( v1 = 2,71 m/s):
hL = 0,04 times 2,71^22 times 9,81 approx 0,015 m

Passo 10

Somamos todas as perdas de carga para obter o total:
htotal = hf1 + hf2 + hf3 + hL = 3,51 + 0,45 + 0,12 + 0,015 approx 4,10 m

Resposta

O desnível entre os reservatórios necessário para a vazão de 85 L/s é aproximadamente 4,10 metros.

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