(3,0) O potencial de velocidade de um campo de escoamento invíscido é varphi=-(3 x^2 y-y^3) onde x e y são dados em metros e varphi é expresso em^m / s. Determine a diferença entre as pressões nos pontos (x=1 m e y=2 m) e ( x=4 m e y=4 m). Admita que o escoamento é a água e que os efeitos de forças de campo são desprezíveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um potencial de velocidade varphi = -(3x^2y - y^3) num escoamento invíscido (sem viscosidade) de água. O que precisamos fazer é calcular a diferença de pressão entre dois pontos específicos: um em (x=1,m, y=2,m) e outro em (x=4,m, y=4,m). Para resolver isso, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona velocidade e pressão em um fluxo de fluido ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o potencial de velocidade varphi. Ele está relacionado à velocidade do fluido pelas derivadas parciais:
u = partial varphipartial x e v = partial varphipartial y
onde u e v são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as componentes das velocidades nos dois pontos.
Para o primeiro ponto (x=1,m, y=2,m):
u1 = partial varphipartial x = -(6xy) = -6 times 1 times 2 = -12,m/s
v1 = partial varphipartial y = -(3x^2 - 3y^2) = -(3 times 1^2 - 3 times 2^2) = -(3 - 12) = 9,m/s
Para o segundo ponto (x=4,m, y=4,m):
u2 = partial varphipartial x = -(6xy) = -6 times 4 times 4 = -96,m/s
v2 = partial varphipartial y = -(3x^2 - 3y^2) = -(3 times 4^2 - 3 times 4^2) = -(48 - 48) = 0,m/s

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de Bernoulli para cada ponto. A fórmula de Bernoulli para um escoamento incompressível e sem forças externas é:
P + 12rho v^2 = constante
Onde:
  • P é a pressão,
  • rho é a densidade da água (aproximadamente 1000,kg/m^3),
  • v é a velocidade do fluido.
Como queremos a diferença de pressão De, podemos rearranjar a equação:
P2 - P1 = 12rho (v1^2 - v2^2)
Primeiro, calculamos a velocidade em cada ponto:
Para o primeiro ponto:
v1 = raizu1^2 + v1^2 = raiz(-12)^2 + 9^2 = raiz144 + 81 = raiz225 = 15,m/s
Para o segundo ponto:
v2 = raizu2^2 + v2^2 = raiz(-96)^2 + 0^2 = raiz9216 = 96,m/s
Agora, substituímos na fórmula da diferença de pressão:
De

Resposta

A diferença de pressão entre os pontos (1,m, 2,m) e (4,m, 4,m) é de -4.495.500,Pa. Isso significa que a pressão é menor no segundo ponto comparado ao primeiro.

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