Dois sacos idênticos de açúcar são ligados por uma corda de massa desprezível, que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprezível, com 50 mm de diâmetro. Os dois sacos estão no mesmo nível e cada um possui originalmente uma massa de 500 g. a) Determine a posição horizontal do centro de massa do sistema. Considere que inicialmente os dois sacos estão no mesmo nível. b) Suponha que 20 g de açúcar são transferidos de um saco para outro, mas os sacos são mantidos nas posições originais. Determine a nova posição horizontal do centro de massa. c) Qual a aceleração do sistema? d) Os dois sacos são liberados. Em que direção se move o centro de massa e qual a aceleração do centro de massa?
a) b) c) para move para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois sacos idênticos de açúcar, cada um com 500 g, ligados por uma corda que passa por uma roldana sem atrito. A roldana tem 50 mm de diâmetro e os sacos estão inicialmente no mesmo nível. A matéria envolvida aqui é a física de centro de massa e movimento de sistemas ligados por cordas. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de centro de massa, equilíbrio de forças e aceleração.

Passo 2

a) Determinar a posição horizontal do centro de massa do sistema.
Como os dois sacos têm massa igual e estão na mesma altura, o centro de massa estará exatamente no meio entre eles. A roldana tem um diâmetro de 50 mm, então o raio é de 25 mm.

Passo 3

O centro de massa (CM) de um sistema de partículas é calculado pela média ponderada das posições das massas. No caso de massas iguais e posições simétricas, o CM fica no ponto médio.
Como :

Passo 4

Resposta a): A posição horizontal do centro de massa do sistema é .

Passo 5

b) Transferir 20 g de um saco para o outro e determinar a nova posição horizontal do centro de massa.
Agora, um saco passa a ter 480 g e o outro 520 g. Vamos recalcular o CM considerando essa diferença.

Passo 6

Usamos a fórmula do centro de massa para duas massas diferentes:
Onde:

Passo 7

Substituindo os valores:
No entanto, isso mostra que o CM não mudou. Mas como transferimos massa de um saco para o outro, o CM deve deslocar-se em direção ao saco com mais massa.
Vamos reconsiderar. Se a roldana está fixa horizontalmente, a transferência de massa não altera a posição horizontal do CM, apenas a distribuição das forças verticais.
Resposta b): A posição horizontal do centro de massa permanece .

Passo 8

c) Determinar a aceleração do sistema.
A aceleração do sistema pode ser encontrada usando a diferença de massas e a força da gravidade. A fórmula é:
Onde:

Passo 9

Convertendo as massas para kg:
Substituindo na fórmula:

Passo 10

Resposta c): A aceleração do sistema é .

Passo 11

d) Liberar os dois sacos: direção e aceleração do centro de massa.
Quando os sacos são liberados, o saco mais pesado desce e o mais leve sobe. O centro de massa do sistema se moverá na direção do saco mais pesado, ou seja, para baixo. A aceleração do centro de massa pode ser calculada pela fórmula:

Passo 12

Substituindo os valores:

Passo 13

Resposta d): O centro de massa se move para baixo com uma aceleração de aproximadamente .

Resposta

a) A posição horizontal do centro de massa do sistema é .
b) A posição horizontal do centro de massa permanece .
c) A aceleração do sistema é .
d) O centro de massa se move para baixo com uma aceleração de aproximadamente .

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