Dois sacos idênticos de açúcar são ligados por uma corda de massa desprezível, que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprezível, com 50 mm de diâmetro. Os dois sacos estão no mesmo nível e cada um possui originalmente uma massa de 500 g. a) Determine a posição horizontal do centro de massa do sistema. Considere que inicialmente os dois sacos estão no mesmo nível. b) Suponha que 20 g de açúcar são transferidos de um saco para outro, mas os sacos são mantidos nas posições originais. Determine a nova posição horizontal do centro de massa. c) Qual a aceleração do sistema? d) Os dois sacos são liberados. Em que direção se move o centro de massa e qual a aceleração do centro de massa?
a)
b)
c)
para
move para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dois sacos de açúcar iguais conectados por uma corda passando por uma roldana. A gente vai usar conceitos de Centro de Massa e Dinâmica de Sistemas para resolver as partes a), b), c) e d). Precisamos saber sobre posição de centro de massa, transferência de massa, aceleração e movimento de sistemas ligados por corda e roldanas.
Passo 2
Parte a): Inicialmente, os dois sacos têm a mesma massa (500 g cada) e estão no mesmo nível. Para encontrar o centro de massa horizontal do sistema, vamos considerar a posição de cada massa.
O conceito de Centro de Massa (CM) nos ajuda a encontrar um ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada. Quando as massas são iguais e estão na mesma posição, o CM fica exatamente no meio delas.
Passo 3
Como os sacos estão ligados por uma corda que passa por uma roldana com diâmetro de 50 mm, podemos assumir que cada saco está a 25 mm do centro da roldana. Como ambos estão no mesmo nível, o centro de massa ficará no meio, ou seja, a 25 mm da roldana.
Passo 4
Parte b): Agora, 20 g de açúcar são transferidos de um saco para o outro, mas ambos continuam na mesma posição. Isso significa que um saco passa a ter 480 g e o outro 520 g.
Para encontrar a nova posição do centro de massa, usamos a fórmula:
onde
e
são as massas e
e
são as posições de cada massa.
Passo 5
Substituindo os valores:
Isso significa que o centro de massa se desloca 1 mm para o lado do saco com mais massa, ficando a 26 mm da roldana.
Passo 6
Parte c): Queremos achar a aceleração do sistema. Considerando que a corda e a roldana são ideais (sem atrito e de massa desprezível), podemos usar a segunda lei de Newton para sistemas ligados.
A aceleração
do sistema é dada por:
onde
é a massa maior,
é a massa menor e
é a aceleração da gravidade.
Passo 7
Substituindo
e
:
Passo 8
Parte d): Quando os sacos são liberados, o sistema começa a se mover devido à diferença de massa. O centro de massa do sistema se moverá na direção da massa maior, ou seja, para baixo.
A aceleração do centro de massa
pode ser calculada considerando que só uma das massas está acelerando na direção da gravidade, mas como as massas estão conectadas, a aceleração do CM será a mesma que a aceleração do sistema calculada na parte c).
Direção: Para baixo.
Aceleração:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A posição horizontal do centro de massa é de 25 mm.
b) Após transferir 20 g, a nova posição horizontal do centro de massa é de 26 mm.
c) A aceleração do sistema é de 0,392 m/s².
d) O centro de massa se move para baixo com uma aceleração de 0,01568 m/s².
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e
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é lançado para cima em um plano inclinado de
com rapidez
. Ele sobe
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[Resposta: a) -23 J b) ]
[Resposta: a) -23 J b)
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, mergulhados em um litro de água inicialmente à
?