Um projétil lançado no ar ao nível do solo apresenta um alcance de 55 m. No ponto mais alto de sua trajetória ele explode, fragmentando-se em duas partes de massa idênticas. Imediatamente após a explosão um de seus fragmentos apresenta uma velocidade instantaneamente nula, e cai em linha reta em direção ao solo. Onde o outro fragmento cairá? Despreze a resistência do ar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um projétil lançado no ar que atinge um alcance de 55 metros. No ponto mais alto da trajetória, ele explode em duas partes iguais. Uma dessas partes para de repente e cai direto no chão. A gente precisa descobrir onde a outra parte vai cair. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e conservação de momentum. Vamos precisar entender como o projétil se movimenta e como a explosão afeta as trajetórias das peças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do projétil antes da explosão. Quando um projétil é lançado, ele segue uma trajetória parabólica devido à gravidade. O alcance total de 55 metros significa que, do lançamento até o ponto onde atinge o solo novamente, ele percorre essa distância horizontal.
Passo 3
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical do projétil é zero, mas ainda há velocidade horizontal. Vamos chamar essa velocidade horizontal de
. Essa é a velocidade que o projétil mantém até a explosão.
Passo 4
Na explosão, o projétil se divide em duas partes de massas iguais. Vamos chamar a massa original de
, ent��o cada fragmento terá massa
.
Passo 5
Aplicando a conservação do momentum horizontal na explosão, sabemos que o momentum total antes da explosão é igual ao momentum total após a explosão. Antes da explosão, apenas o projétil inteiro tinha momentum horizontal, que é
.
Passo 6
Após a explosão, um dos fragmentos (vamos chamar de Fragmento A) fica parado, ou seja, sua velocidade horizontal é zero. O outro fragmento (Fragmento B) precisa compensar isso para manter o momentum total. Então, o momentum do Fragmento B é:
Resolvendo para
:
Então, o Fragmento B tem o dobro da velocidade horizontal original do projétil.
Passo 7
Agora, vamos calcular o tempo que cada fragmento leva para cair do ponto mais alto até o solo. Como o Fragmento A está parado, ele simplesmente cai diretamente. Já o Fragmento B, que está movendo-se horizontalmente, também tem o mesmo tempo de queda vertical.
A altura máxima
pode ser calculada usando a fórmula da cinemática:
Mas como no ponto mais alto a velocidade vertical
, isso não nos ajuda diretamente. Em vez disso, sabemos que o tempo total de voo do projétil é dividido igualmente na subida e na descida. Vamos chamar o tempo total de voo de
, então o tempo para subir é
e para descer também
.
Sabemos que o alcance horizontal
é dado por:
Dado que
metros, podemos achar o tempo total
:
Mas precisamos relacionar isso com a velocidade horizontal na explosão.
Passo 8
Como o Fragmento B tem velocidade
, o alcance adicional que ele terá após a explosão será:
Substituindo
:
Resposta
O Fragmento B cairá a 110 metros de onde o projétil foi lançado originalmente.
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a)
b)
c)
para
move para baixo.
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