Dois tanques com uma abertura larga são preenchidos com um líquido. Um buraco de área A1 é feito no tanque 1 e outro de área A2 no tanque 2 em profundidades h1 e h2 respectivamente. Se A1=2 A2 e a vazão for identica, quanto deve ser a razão h1 / h2 ?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre dois tanques cheios de líquido, cada um com um buraco de área diferente. No primeiro tanque, o buraco tem área Q = A cdot raiz2gh e está a uma profundidade . No segundo tanque, o buraco tem área e está a uma profundidade . Sabemos que e que a vazão (a quantidade de líquido que sai por unidade de tempo) é a mesma nos dois tanques. Nosso objetivo é descobrir qual é a razão entre as profundidades e , ou seja, calcular .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Lei de Torricelli, que relaciona a velocidade do fluido saindo de um orifício com a profundidade do fluido no tanque. A fórmula que vamos utilizar é:
onde:
  • é a vazão,
  • é a área do orifício,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a profundidade do líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da vazão para cada tanque usando a Lei de Torricelli.
Para o tanque 1:
Q1 = A1 cdot raiz2gh1
Para o tanque 2:
Q2 = A2 cdot raiz2gh2

Passo 3

Como a vazão é a mesma nos dois tanques, podemos igualar as duas equações:
A1 cdot raiz2gh1 = A2 cdot raiz2gh2

Passo 4

Sabemos que 2A2 cdot raiz2gh1 = A2 cdot raiz2gh2 . Vamos substituir isso na equação:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 2 cdot raiz2gh1 = raiz2gh2 :

Passo 6

Podemos dividir ambos os lados por 2 cdot raizh1 = raizh2 para simplificar ainda mais:

Passo 7

Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(2 cdot raizh1)^2 = (raizh2)^2
4h1 = h2

Passo 8

Finalmente, queremos a razão h1h2 = 14 . Vamos isolar essa razão dividindo ambos os lados da equação por :

Resposta

A razão entre as profundidades é .

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