Um recipiente cilíndrico de altura h e área de base S é preenchido com água. Um orifício de área s ll S é aberto na parte inferior do recipiente. Desprezando a viscosidade da água, em quanto tempo o recipiente ficará vazio?

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão pede. Temos um recipiente cilíndrico com altura e área de base cheio de água. Na parte de baixo, abre-se um orifício pequeno com área (bem menor que ). Queremos descobrir quanto tempo leva para o recipiente esvaziar completamente, ignorando a viscosidade da água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a Lei de Torricelli, e cálculos de taxa de escoamento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Lei de Torricelli, que nos diz a velocidade v = raiz2gh com que a água sai pelo orifício. Essa velocidade é dada por:
onde é a aceleração da gravidade e é a altura da coluna de água acima do orifício.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a taxa de escoamento da água com a variação da altura dVdt = -s cdot v = -s cdot raiz2gh no tempo. A quantidade de água que sai por unidade de tempo é a área do orifício multiplicada pela velocidade :
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 4

Sabemos que o volume V = S cdot h do cilindro é dado por:
dVdt = S cdot dhdt
Portanto, a taxa de variação do volume em relação ao tempo também pode ser expressa como:

Passo 5

Igualando as duas expressões para S cdot dhdt = -s cdot raiz2gh :
dhraizh = -s raiz2gS dt
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:

Passo 6

Integrando ambos os lados, de integralh0^0 dhraizh = -s raiz2gS integral0^T dt (inicial) a 2raiz0 - 2raizh0 = -2raizh0 (esvaziado) no lado esquerdo, e de -s raiz2gS cdot T a no lado direito:
A integral à esquerda resulta em avaliada de a 0:
E a integral à direita resulta em:

Passo 7

Igualando as duas expressões:
-2raizh0 = -s raiz2gS cdot T
Simplificando os sinais negativos:
2raizh0 = s raiz2gS cdot T

Passo 8

Resolvendo para T = 2Sraizh0s raiz2g = raiz2 S raizhs raizg :

Resposta

O tempo necessário para o recipiente esvaziar completamente é:
T = 2S raizhs raiz2g

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