Um recipiente cilíndrico de altura
e área de base
é preenchido com água. Um orifício de área
é aberto na parte inferior do recipiente. Desprezando a viscosidade da água, em quanto tempo o recipiente ficará vazio?
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão pede. Temos um recipiente cilíndrico com altura
e área de base
cheio de água. Na parte de baixo, abre-se um orifício pequeno com área
(bem menor que
). Queremos descobrir quanto tempo leva para o recipiente esvaziar completamente, ignorando a viscosidade da água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a Lei de Torricelli, e cálculos de taxa de escoamento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a Lei de Torricelli, que nos diz a velocidade
com que a água sai pelo orifício. Essa velocidade é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a altura da coluna de água acima do orifício.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a taxa de escoamento da água com a variação da altura
no tempo. A quantidade de água que sai por unidade de tempo é a área do orifício
multiplicada pela velocidade
:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 4
Sabemos que o volume
do cilindro é dado por:
Portanto, a taxa de variação do volume em relação ao tempo também pode ser expressa como:
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Passo 6
Integrando ambos os lados, de
(inicial) a
(esvaziado) no lado esquerdo, e de
a
no lado direito:
A integral à esquerda resulta em
avaliada de
a 0:
E a integral à direita resulta em:
Passo 7
Igualando as duas expressões:
Simplificando os sinais negativos:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
O tempo necessário para o recipiente esvaziar completamente é: