Um recipiente cilíndrico de altura e área de base é preenchido com água. Um orifício de área é aberto na parte inferior do recipiente. Desprezando a viscosidade da água, em quanto tempo o recipiente ficará vazio?

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão pede. Temos um recipiente cilíndrico com altura e área de base cheio de água. Na parte de baixo, abre-se um orifício pequeno com área (bem menor que ). Queremos descobrir quanto tempo leva para o recipiente esvaziar completamente, ignorando a viscosidade da água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a Lei de Torricelli, e cálculos de taxa de escoamento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Lei de Torricelli, que nos diz a velocidade com que a água sai pelo orifício. Essa velocidade é dada por:
onde é a aceleração da gravidade e é a altura da coluna de água acima do orifício.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a taxa de escoamento da água com a variação da altura no tempo. A quantidade de água que sai por unidade de tempo é a área do orifício multiplicada pela velocidade :
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 4

Sabemos que o volume do cilindro é dado por:
Portanto, a taxa de variação do volume em relação ao tempo também pode ser expressa como:

Passo 5

Igualando as duas expressões para :
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:

Passo 6

Integrando ambos os lados, de (inicial) a (esvaziado) no lado esquerdo, e de a no lado direito:
A integral à esquerda resulta em avaliada de a 0:
E a integral à direita resulta em:

Passo 7

Igualando as duas expressões:
Simplificando os sinais negativos:

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

O tempo necessário para o recipiente esvaziar completamente é:

Exercícios relacionados

Dois tanques com uma abertura larga são preenchidos com um líquido. Um buraco de área é feito no tanque 1 e outro de área no tanque 2 em profundidades e respectivamente. Se e a vazão for identica, quanto deve ser a razão ?
  • Referenciais (não-incerciais) e forças de inercia.
    Questão 4-)Supondo que um elevador tenha seu movimento de descida observado pelo observador dado por uma aceleração variável tal que e , sendo e constantes, esboçado logo abaixo.
    Em que instânte de tempo o observador não sentiria a troca de forças entre seus pés e o sólo do elevador? Obtenha a resposta decompondo as forças que atuam no indivíduo do
Um tubo de comprimento e raio transporta um fluxo estacionário de fluido com densidade e viscosidade . A velocidade de fluxo do fluido depende da distância do do eixo do tubo com . Encontre:
(a) O volume do fluido que atravessa a seção do tubo por unidade de tempo;
(b) A energia cinética do fluido dentro do volume do tubo;
© A força de fricção exercida sobre o tubo pelo fuido;
(d) A diferença de pressão nas bordas do tubo.
Tendo em mente uma mudança de referencial de um observador para um observador
qual seria a condição em para que uma força atuando na partícula de massa seja invariante por essa mudança de referencial . Sendo a velociade relativa entre os observadores, escreva de forma explícita essa transformação entre os referenciais na forma vetorial e em coordenadas cartesianas (x,y e z). (2 ponto)