Mostre que um plano é perpendicular a dois planos secantes se e somente se ele é perpendicular à reta de interseção dos dois planos.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de geometria espacial que pede para provar que um plano é perpendicular a dois planos que se cruzam (ou seja, que são secantes) se e somente se esse plano é perpendicular à reta onde esses dois planos se intersectam. Vamos usar conceitos de vetores normais e propriedades de planos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada plano no espaço pode ser descrito por uma equação na forma geral:
Ax + By + Cz + D = 0
Aqui, o vetor é o vetor normal do plano, ou seja, é um vetor perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora, se temos dois planos secantes, digamos d = n1 times n2 e , com vetores normais e , respectivamente, a reta de interseção entre eles é dada pelo produto vetorial desses vetores normais:
Esse vetor é paralelo à reta de interseção dos planos.

Passo 4

Vamos chamar o terceiro plano de com vetor normal . A afirmação diz que é perpendicular a e se e somente se é perpendicular à reta de interseção deles, ou seja, a é perpendicular a .

Passo 5

Primeiro, mostramos que se n cdot n1 = 0 é perpendicular a n cdot n2 = 0 e , então é perpendicular à reta de interseção. Como é perpendicular a e , seus vetores normais é perpendicular a e . Ou seja:
Isso implica que é perpendicular a ambos os vetores normais, então deve ser paralelo à reta de interseção, ou seja, perpendicular a .

Passo 6

Agora, mostramos a outra direção: se é perpendicular à reta de interseção dos planos e , então é perpendicular a ambos os planos. Se é perpendicular à reta de interseção, seu vetor normal é paralelo ao vetor . Isso significa que é uma combinação linear de e , e portanto, é perpendicular a ambos os vetores normais e . Logo, é perpendicular a e .

Resposta

Assim, mostramos que um plano é perpendicular a dois planos secantes se e somente se ele é perpendicular à reta de interseção desses dois planos.

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