Mostre que um plano é perpendicular a dois planos secantes se e somente se ele é perpendicular à reta de interseção dos dois planos.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de geometria espacial que pede para provar que um plano é perpendicular a dois planos que se cruzam (ou seja, que são secantes) se e somente se esse plano é perpendicular à reta onde esses dois planos se intersectam. Vamos usar conceitos de vetores normais e propriedades de planos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada plano no espaço pode ser descrito por uma equação na forma geral:
Aqui, o vetor
é o vetor normal do plano, ou seja, é um vetor perpendicular ao plano.
Passo 3
Agora, se temos dois planos secantes, digamos
e
, com vetores normais
e
, respectivamente, a reta de interseção entre eles é dada pelo produto vetorial desses vetores normais:
Esse vetor
é paralelo à reta de interseção dos planos.
Passo 4
Vamos chamar o terceiro plano de
com vetor normal
. A afirmação diz que
é perpendicular a
e
se e somente se
é perpendicular à reta de interseção deles, ou seja, a
é perpendicular a
.
Passo 5
Primeiro, mostramos que se
é perpendicular a
e
, então
é perpendicular à reta de interseção. Como
é perpendicular a
e
, seus vetores normais
é perpendicular a
e
. Ou seja:
Isso implica que
é perpendicular a ambos os vetores normais, então
deve ser paralelo à reta de interseção, ou seja, perpendicular a
.
Passo 6
Agora, mostramos a outra direção: se
é perpendicular à reta de interseção dos planos
e
, então
é perpendicular a ambos os planos. Se
é perpendicular à reta de interseção, seu vetor normal
é paralelo ao vetor
. Isso significa que
é uma combinação linear de
e
, e portanto, é perpendicular a ambos os vetores normais
e
. Logo,
é perpendicular a
e
.
Resposta
Assim, mostramos que um plano é perpendicular a dois planos secantes se e somente se ele é perpendicular à reta de interseção desses dois planos.