Dois vasos cilíndricos idênticos com suas bases em um mesmo nível contêm um líquido de densidade
. A área de cada base é
, mas em um dos vasos a altura do líquido é
e no outro ela vale
. Os vasos são, então, conectados. Determine o trabalho realizado pela força gravitacional quando os níveis do líquido forem igualados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois vasos cilíndricos iguais que têm líquidos com densidade
. Cada base dos vasos tem uma área de
. Em um vaso, a altura do líquido é
e no outro é
. Quando conectamos os vasos, o líquido vai se redistribuir até que os níveis fiquem iguais. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto trabalho a força da gravidade realiza durante esse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados à energia potencial gravitacional e à massa de líquidos nos vasos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a área das bases de centímetros quadrados para metros quadrados, já que as outras medidas estão em metros:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume de líquido em cada vaso antes de conectá-los. O volume é dado por:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
Passo 4
O volume total de líquido nos dois vasos é a soma dos volumes individuais:
Passo 5
Quando os vasos são conectados, o líquido se redistribui de forma que os níveis fiquem iguais. Vamos chamar a altura final de
. Como os vasos são idênticos, temos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a massa de líquido em cada vaso antes da conexão. A massa é dada por:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
Passo 7
A energia potencial gravitacional de cada vaso antes da conexão é dada por:
Onde
. O centro de massa para cada líquido está na metade da altura do líquido:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
A energia potencial total antes da conexão é:
Passo 8
Após a conexão, a altura final é
para ambos os vasos. A massa total é
. A energia potencial total após a conexão é:
Passo 9
O trabalho realizado pela força gravitacional é a diferença entre a energia potencial inicial e a final:
Resposta
O trabalho realizado pela força gravitacional é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
O tubo de plástico na Fig. 14-30 tem uma área de seção transversal de
. O tubo é preenchido com água até que o braço menor (de comprimento
) esteja cheio. Então, o braço menor é tampado e mais água é gradualmente derramada no braço longo. Se a tampa no
braço menor é disparada quando uma força sobre ela excede , que altura total da coluna de água no braço maior deixa a tampa na iminência de ser disparada?
braço menor é disparada quando uma força sobre ela excede
A profundidade máxima
que um mergulhador pode descer com um snorkel (tubo de respiração bucal) é determinada pela densidade da água e pelo fato de que os pulmões humanos suportam uma diferença de pressão máxima (entre o interior e o exterior da cavidade torácica) de
. Qual é a diferença em
para água pura e a água do Mar Morto (a água natural mais salgada no mundo, com uma densidade de
?
Na Fig. 14-31, um tubo aberto, de comprimento
e área de seção transversal
, está fixado no topo de um barril cilíndrico de diâmetro
e altura
. O barrile o tubo são preenchidos com água (até o topo do tubo). Calcule a razão entre a força hidrostática sobre o fundo do barril e a força gravitacional sobre a água contida no barril. Por que esta razão não é igual a 1,0 ? (Você não precisa considerar a pressão atmosférica.)
O tanque em forma de
mostrado na Fig. 14-33 é preenchido com água e está aberto no topo. Se
, qual é a força devida à água (a) sobre a face
e (b) sobre a face
?