Dois vasos cilíndricos idênticos com suas bases em um mesmo nível contêm um líquido de densidade
. A área de cada base é
, mas em um dos vasos a altura do líquido é
e no outro ela vale
. Os vasos são, então, conectados. Determine o trabalho realizado pela força gravitacional quando os níveis do líquido forem igualados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois vasos cilíndricos iguais que têm líquidos com densidade
. Cada base dos vasos tem uma área de
. Em um vaso, a altura do líquido é
e no outro é
. Quando conectamos os vasos, o líquido vai se redistribuir até que os níveis fiquem iguais. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto trabalho a força da gravidade realiza durante esse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados à energia potencial gravitacional e à massa de líquidos nos vasos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a área das bases de centímetros quadrados para metros quadrados, já que as outras medidas estão em metros:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume de líquido em cada vaso antes de conectá-los. O volume é dado por:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
Passo 4
O volume total de líquido nos dois vasos é a soma dos volumes individuais:
Passo 5
Quando os vasos são conectados, o líquido se redistribui de forma que os níveis fiquem iguais. Vamos chamar a altura final de
. Como os vasos são idênticos, temos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a massa de líquido em cada vaso antes da conexão. A massa é dada por:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
Passo 7
A energia potencial gravitacional de cada vaso antes da conexão é dada por:
Onde
. O centro de massa para cada líquido está na metade da altura do líquido:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
A energia potencial total antes da conexão é:
Passo 8
Após a conexão, a altura final é
para ambos os vasos. A massa total é
. A energia potencial total após a conexão é:
Passo 9
O trabalho realizado pela força gravitacional é a diferença entre a energia potencial inicial e a final:
Resposta
O trabalho realizado pela força gravitacional é aproximadamente
.