Dois vasos cilíndricos idênticos com suas bases em um mesmo nível contêm um líquido de densidade 1,30 times 10^3 kg / m^3. A área de cada base é 4,00 cm^2, mas em um dos vasos a altura do líquido é 0,854 m e no outro ela vale 1,560 m. Os vasos são, então, conectados. Determine o trabalho realizado pela força gravitacional quando os níveis do líquido forem igualados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois vasos cilíndricos iguais que têm líquidos com densidade 1,30 times 10^3 , kg/m^3. Cada base dos vasos tem uma área de 4,00 , cm^2. Em um vaso, a altura do líquido é 0,854 , m e no outro é 1,560 , m. Quando conectamos os vasos, o líquido vai se redistribuir até que os níveis fiquem iguais. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto trabalho a força da gravidade realiza durante esse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados à energia potencial gravitacional e à massa de líquidos nos vasos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a área das bases de centímetros quadrados para metros quadrados, já que as outras medidas estão em metros:
4,00 , cm^2 = 4,00 times 10^-4 , m^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume de líquido em cada vaso antes de conectá-los. O volume é dado por:
V = área times aá
Para o primeiro vaso:
V1 = 4,00 times 10^-4 , m^2 times 0,854 , m = 3,416 times 10^-4 , m^3
Para o segundo vaso:
V2 = 4,00 times 10^-4 , m^2 times 1,560 , m = 6,24 times 10^-4 , m^3

Passo 4

O volume total de líquido nos dois vasos é a soma dos volumes individuais:
Vtotal = V1 + V2 = 3,416 times 10^-4 + 6,24 times 10^-4 = 9,656 times 10^-4 , m^3

Passo 5

Quando os vasos são conectados, o líquido se redistribui de forma que os níveis fiquem iguais. Vamos chamar a altura final de h. Como os vasos são idênticos, temos:
2 times (área times h) = Vtotal á
2 times (4,00 times 10^-4 , m^2 times h) = 9,656 times 10^-4 , m^3
Resolvendo para h:
8,00 times 10^-4 , m^2 times h = 9,656 times 10^-4 , m^3
h = 9,656 times 10^-48,00 times 10^-4 = 1,207 , m

Passo 6

Agora, vamos calcular a massa de líquido em cada vaso antes da conexão. A massa é dada por:
m = densidade times volume
Para o primeiro vaso:
m1 = 1,30 times 10^3 , kg/m^3 times 3,416 times 10^-4 , m^3 = 0,445 , kg
Para o segundo vaso:
m2 = 1,30 times 10^3 , kg/m^3 times 6,24 times 10^-4 , m^3 = 0,811 , kg

Passo 7

A energia potencial gravitacional de cada vaso antes da conexão é dada por:
U = m times g times hcentro de massa
Onde g = 9,81 , m/s^2. O centro de massa para cada líquido está na metade da altura do líquido:
Para o primeiro vaso:
U1 = 0,445 times 9,81 times 0,8542 = 1,865 , J
Para o segundo vaso:
U2 = 0,811 times 9,81 times 1,5602 = 6,233 , J
A energia potencial total antes da conexão é:
Utotal inicial = U1 + U2 = 1,865 + 6,233 = 8,098 , J

Passo 8

Após a conexão, a altura final é 1,207 , m para ambos os vasos. A massa total é mtotal = m1 + m2 = 1,256 , kg. A energia potencial total após a conexão é:
Utotal final = mtotal times g times h2 = 1,256 times 9,81 times 1,2072 = 7,43 , J

Passo 9

O trabalho realizado pela força gravitacional é a diferença entre a energia potencial inicial e a final:
W = Utotal inicial - Utotal final = 8,098 - 7,43 = 0,668 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força gravitacional é aproximadamente 0,668 , J.

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