Dois vasos cilíndricos idênticos com suas bases em um mesmo nível contêm um líquido de densidade . A área de cada base é , mas em um dos vasos a altura do líquido é e no outro ela vale . Os vasos são, então, conectados. Determine o trabalho realizado pela força gravitacional quando os níveis do líquido forem igualados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois vasos cilíndricos iguais que têm líquidos com densidade . Cada base dos vasos tem uma área de . Em um vaso, a altura do líquido é e no outro é . Quando conectamos os vasos, o líquido vai se redistribuir até que os níveis fiquem iguais. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto trabalho a força da gravidade realiza durante esse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física relacionados à energia potencial gravitacional e à massa de líquidos nos vasos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a área das bases de centímetros quadrados para metros quadrados, já que as outras medidas estão em metros:

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume de líquido em cada vaso antes de conectá-los. O volume é dado por:
á
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:

Passo 4

O volume total de líquido nos dois vasos é a soma dos volumes individuais:

Passo 5

Quando os vasos são conectados, o líquido se redistribui de forma que os níveis fiquem iguais. Vamos chamar a altura final de . Como os vasos são idênticos, temos:
á
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos calcular a massa de líquido em cada vaso antes da conexão. A massa é dada por:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:

Passo 7

A energia potencial gravitacional de cada vaso antes da conexão é dada por:
Onde . O centro de massa para cada líquido está na metade da altura do líquido:
Para o primeiro vaso:
Para o segundo vaso:
A energia potencial total antes da conexão é:

Passo 8

Após a conexão, a altura final é para ambos os vasos. A massa total é . A energia potencial total após a conexão é:

Passo 9

O trabalho realizado pela força gravitacional é a diferença entre a energia potencial inicial e a final:

Resposta

O trabalho realizado pela força gravitacional é aproximadamente .

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