Na Fig. 14-31, um tubo aberto, de comprimento L=1,8 m e área de seção transversal A=4,6 cm^2, está fixado no topo de um barril cilíndrico de diâmetro D=1,2 m e altura H=1,8 m. O barrile o tubo são preenchidos com água (até o topo do tubo). Calcule a razão entre a força hidrostática sobre o fundo do barril e a força gravitacional sobre a água contida no barril. Por que esta razão não é igual a 1,0 ? (Você não precisa considerar a pressão atmosférica.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um tubo aberto de comprimento e área de seção transversal fixado no topo de um barril cilíndrico com diâmetro e altura . Tanto o tubo quanto o barril estão cheios de água até o topo do tubo. Nosso objetivo é calcular a razão entre a força hidrostática no fundo do barril e a força gravitacional sobre a água contida no barril. Ah, e a gente pode ignorar a pressão atmosférica. Vamos precisar usar conceitos de hidrostática e forças gravitacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força hidrostática no fundo do barril. A força hidrostática ( P = rho g h ) é dada pela pressão da água na profundidade do fundo multiplicada pela área da base do barril.
A pressão da água a uma profundidade Fhidro = P times Abarril = rho g H times Abarril é dada por:
onde:
  • é a densidade da água ( ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura da coluna de água (neste caso, ).
Ent��o, a força hidrostática no fundo do barril é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a força gravitacional sobre a água no barril. A força gravitacional ( Vbarril = pi ( D2 )^2 H ) é basicamente o peso da água, que é a massa da água multiplicada pela gravidade.
Primeiro, encontramos o volume de água no barril e no tubo.
Volume do barril ( Vtubo = A times L ):
A = 4,6 , cm^2 = 4,6 times 10^-4 , m^2
onde Vtotal = Vbarril + Vtubo .
Volume do tubo ( m = rho times Vtotal ):
Fgrav = m times g = rho g Vtotal
Convertendo para metros quadrados:
Então, o volume total de água é:
A massa da água é:
E a força gravitacional é:

Passo 4

Vamos calcular cada parte numericamente.
Primeiro, a área da base do barril ( Abarril = pi ( D2 )^2 = pi ( 1,22 )^2 = pi (0,6)^2 approx 1,13097 , m^2 ):
Fhidro = 1000 times 9,81 times 1,8 times 1,13097 approx 1,999 times 10^5 , N
Agora, calculando Vbarril = pi times (0,6)^2 times 1,8 approx 6,11 , m^3 :
Vtubo = 4,6 times 10^-4 times 1,8 approx 8,28 times 10^-4 , m^3
Em seguida, o volume do barril:
Vtotal = 6,11 + 8,28 times 10^-4 approx 6,1108 , m^3
Volume do tubo:
Fgrav = 1000 times 9,81 times 6,1108 approx 5,993 times 10^4 , N
Volume total da água:
Calculando :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a razão entre a força hidrostática e a força gravitacional:
Razão = FhidroFgrav = 1,999 times 10^55,993 times 10^4 approx 3,34 ã

Resposta

A razão entre a força hidrostática no fundo do barril e a força gravitacional sobre a água é aproximadamente . Essa razão não é igual a 1,0 porque a força hidrostática depende diretamente da pressão exercida pela coluna de água no fundo do barril, que é proporcional à altura da coluna e à área da base. Já a força gravitacional depende do peso total da água presente no barril e no tubo. Como as áreas e volumes envolvidos são diferentes, as forças resultantes também não são iguais.

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