Dois vetores
e
são tais que
. Qual é o ângulo entre
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois vetores,
e
, e que o módulo (ou tamanho) de
é igual ao módulo de
. Queremos descobrir qual é o ângulo entre esses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente a fórmula do módulo de um vetor e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um vetor. Se tivermos um vetor
, o módulo
é dado por:
Onde
é o produto escalar do vetor consigo mesmo.
Passo 3
Aplicando isso aos vetores
e
, temos:
Segundo o enunciado, esses dois módulos são iguais:
Passo 4
Podemos simplificar essa igualdade elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 5
Agora, vamos expandir os produtos escalares:
Passo 6
Observe que
e
aparecem dos dois lados e se cancelam:
Passo 7
Agora, somando
em ambos os lados:
Isso implica que:
Passo 8
O produto escalar de dois vetores é relacionado ao ângulo
entre eles pela fórmula:
Como
, temos:
Passo 9
Assumindo que os vetores
e
não são nulos, os módulos
e
são diferentes de zero. Assim, para que o produto seja zero, precisamos que:
Passo 10
A única solução para
no intervalo de
a
é:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é de
.