Dois vetores e são tais que . Qual é o ângulo entre e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois vetores, e , e que o módulo (ou tamanho) de é igual ao módulo de . Queremos descobrir qual é o ângulo entre esses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente a fórmula do módulo de um vetor e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um vetor. Se tivermos um vetor , o módulo é dado por:
Onde é o produto escalar do vetor consigo mesmo.

Passo 3

Aplicando isso aos vetores e , temos:
Segundo o enunciado, esses dois módulos são iguais:

Passo 4

Podemos simplificar essa igualdade elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 5

Agora, vamos expandir os produtos escalares:

Passo 6

Observe que e aparecem dos dois lados e se cancelam:

Passo 7

Agora, somando em ambos os lados:
Isso implica que:

Passo 8

O produto escalar de dois vetores é relacionado ao ângulo entre eles pela fórmula:
Como , temos:

Passo 9

Assumindo que os vetores e não são nulos, os módulos e são diferentes de zero. Assim, para que o produto seja zero, precisamos que:

Passo 10

A única solução para no intervalo de a é:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

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Um homem deseja puxar um caixote em um piso plano, usando uma força de 100 N , para que o caixote se desloque 15 m . O coeficiente de atrito cinético é 0,25 . Para que o homem realize o maior trabalho possível, o ângulo entre a força e a horizontal deve ser
a- 0
b-
c-
d-
e-
O peso de um objeto na Lua é um sexto do peso do mesmo objeto na Terra. A razão entre a energia cinética de um corpo na Terra que se move com velocidade v e a energia cinética que o mesmo corpo teria na Lua se se movesse com a mesma velocidade é?
Questão 8Resposta
a- 6
b- 36
c- 1
d-
e-
No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, e . (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são e . Usando conservação da energia, calcule as velocidades de e depois que desceu uma distância . (b) Calcule a partir daí as acelerações e das duas massas. © Verifique os resultados usando as leis de Newton.
A velocidade de uma partícula que se move sobre um plano é dada por , com em metros por segundo e ) em segundos.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.