Dois vetores a e b são tais que |a+b|=|a-b|. Qual é o ângulo entre a e b?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos dois vetores, e , e que o módulo (ou tamanho) de é igual ao módulo de . Queremos descobrir qual é o ângulo entre esses dois vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente a fórmula do módulo de um vetor e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um vetor. Se tivermos um vetor |v| = raizv cdot v , o módulo é dado por:
Onde é o produto escalar do vetor consigo mesmo.

Passo 3

Aplicando isso aos vetores |a + b| = raiz(a + b) cdot (a + b) e |a - b| = raiz(a - b) cdot (a - b) , temos:
raiz(a + b) cdot (a + b) = raiz(a - b) cdot (a - b)
Segundo o enunciado, esses dois módulos são iguais:

Passo 4

Podemos simplificar essa igualdade elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(a + b) cdot (a + b) = (a - b) cdot (a - b)

Passo 5

Agora, vamos expandir os produtos escalares:
a cdot a + 2a cdot b + b cdot b = a cdot a - 2a cdot b + b cdot b

Passo 6

Observe que 2a cdot b = -2a cdot b e aparecem dos dois lados e se cancelam:

Passo 7

Agora, somando 4a cdot b = 0 em ambos os lados:
a cdot b = 0
Isso implica que:

Passo 8

O produto escalar de dois vetores é relacionado ao ângulo a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) entre eles pela fórmula:
0 = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Como , temos:

Passo 9

Assumindo que os vetores cos(theta) = 0 e não são nulos, os módulos e são diferentes de zero. Assim, para que o produto seja zero, precisamos que:

Passo 10

A única solução para theta = 90^circ no intervalo de a é:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

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