No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, m1=1 kg e m2=2 kg. (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são I1 e I2. Usando conservação da energia, calcule as velocidades de m1 e m2 depois que m2 desceu uma distância x2. (b) Calcule a partir daí as acelerações a1 e a2 das duas massas. © Verifique os resultados usando as leis de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com duas massas, m1 = 1, kg e m2 = 2, kg, ligadas por fios em polias sem massa. O sistema é solto do repouso, e queremos encontrar as velocidades e acelerações das massas após m2 descer uma distância x2. Para isso, vamos usar a conservação da energia e as leis de Newton. Precisaremos aplicar conceitos de energia potencial gravitacional e cinética, além das relações de força e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a conservação da energia para encontrar as velocidades das massas após m2 descer x2. A energia total inicial é apenas a energia potencial gravitacional, já que o sistema parte do repouso.
A energia potencial inicial do sistema é:
Einicial = m1 g I1 + m2 g I2
Após a movimentação, as energias das massas mudam. A energia cinética das massas será:
Ecinética = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 é
E a energia potencial final é:
Efinal = m1 g (I1 - x1) + m2 g (I2 - x2)
Como a energia total é conservada:
Einicial = Efinal + Ecinética é

Passo 3

Como as polias e os fios são sem massa e os fios são inextensíveis, a descida de m2 implica na subida de m1. Vamos relacionar as distâncias: x1 = x2, já que para cada queda de m2, m1 sobe a mesma distância.
Além disso, as velocidades também estão relacionadas: v1 = v2 = v. Substituindo isso na equação da conservação da energia:
m1 g I1 + m2 g I2 = m1 g (I1 - x2) + m2 g (I2 - x2) + 12 m1 v^2 + 12 m2 v^2
Simplificando:
m1 g x2 + m2 g x2 = 12 (m1 + m2) v^2
Assim:
(m1 + m2) g x2 = 12 (m1 + m2) v^2
Cancelando (m1 + m2):
g x2 = 12 v^2 Rightarrow v = raiz2 g x2

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos calcular as acelerações a1 e a2. Para isso, usamos as leis de Newton.
Considerando as forças atuantes: para m1, a tensão T no fio empurra para cima, e para m2, a gravidade puxa para baixo.
Aplicando a segunda lei de Newton:
Para m1:
T - m1 g = m1 a1
Para m2:
m2 g - T = m2 a2
Como os fios são inextensíveis, as acelerações são relacionadas: a1 = a2 = a.
Somando as duas equações:
m2 g - m1 g = (m1 + m2) a
Isolando a:
a = (m2 - m1) gm1 + m2
Substituindo os valores:
a = (2, kg - 1, kg) times 9,8, m/s^21, kg + 2, kg = 9,8, m/s^23 approx 3,27, m/s^2

Passo 5

Para verificar os resultados usando as leis de Newton, já aplicamos as equações de força e acelerção. Vimos que:
a = (m2 - m1) gm1 + m2
O valor encontrado para a aceleração confirma que, de fato, as forças atuantes foram corretamente consideradas e as relações entre massa, força e aceleração estão consistentes com as leis de Newton.

Resposta

As velocidades das massas após m2 descer x2 são v1 = v2 = raiz2 g x2. As acelerações das duas massas são a1 = a2 approx 3,27, m/s^2. A verificação com as leis de Newton confirma esses resultados.

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