No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível,
e
. (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são
e
. Usando conservação da energia, calcule as velocidades de
e
depois que
desceu uma distância
. (b) Calcule a partir daí as acelerações
e
das duas massas. © Verifique os resultados usando as leis de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com duas massas,
e
, ligadas por fios em polias sem massa. O sistema é solto do repouso, e queremos encontrar as velocidades e acelerações das massas após
descer uma distância
. Para isso, vamos usar a conservação da energia e as leis de Newton. Precisaremos aplicar conceitos de energia potencial gravitacional e cinética, além das relações de força e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a conservação da energia para encontrar as velocidades das massas após
descer
. A energia total inicial é apenas a energia potencial gravitacional, já que o sistema parte do repouso.
A energia potencial inicial do sistema é:
Após a movimentação, as energias das massas mudam. A energia cinética das massas será:
E a energia potencial final é:
Como a energia total é conservada:
Passo 3
Como as polias e os fios são sem massa e os fios são inextensíveis, a descida de
implica na subida de
. Vamos relacionar as distâncias:
, já que para cada queda de
,
sobe a mesma distância.
Além disso, as velocidades também estão relacionadas:
. Substituindo isso na equação da conservação da energia:
Simplificando:
Assim:
Cancelando
:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos calcular as acelerações
e
. Para isso, usamos as leis de Newton.
Considerando as forças atuantes: para
, a tensão
no fio empurra para cima, e para
, a gravidade puxa para baixo.
Aplicando a segunda lei de Newton:
Para
:
Para
:
Como os fios são inextensíveis, as acelerações são relacionadas:
.
Somando as duas equações:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para verificar os resultados usando as leis de Newton, já aplicamos as equações de força e acelerção. Vimos que:
O valor encontrado para a aceleração confirma que, de fato, as forças atuantes foram corretamente consideradas e as relações entre massa, força e aceleração estão consistentes com as leis de Newton.
Resposta
As velocidades das massas após
descer
são
. As acelerações das duas massas são
. A verificação com as leis de Newton confirma esses resultados.