No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, e . (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são e . Usando conservação da energia, calcule as velocidades de e depois que desceu uma distância . (b) Calcule a partir daí as acelerações e das duas massas. © Verifique os resultados usando as leis de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com duas massas, e , ligadas por fios em polias sem massa. O sistema é solto do repouso, e queremos encontrar as velocidades e acelerações das massas após descer uma distância . Para isso, vamos usar a conservação da energia e as leis de Newton. Precisaremos aplicar conceitos de energia potencial gravitacional e cinética, além das relações de força e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a conservação da energia para encontrar as velocidades das massas após descer . A energia total inicial é apenas a energia potencial gravitacional, já que o sistema parte do repouso.
A energia potencial inicial do sistema é:
Após a movimentação, as energias das massas mudam. A energia cinética das massas será:
é
E a energia potencial final é:
Como a energia total é conservada:
é

Passo 3

Como as polias e os fios são sem massa e os fios são inextensíveis, a descida de implica na subida de . Vamos relacionar as distâncias: , já que para cada queda de , sobe a mesma distância.
Além disso, as velocidades também estão relacionadas: . Substituindo isso na equação da conservação da energia:
Simplificando:
Assim:
Cancelando :

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos calcular as acelerações e . Para isso, usamos as leis de Newton.
Considerando as forças atuantes: para , a tensão no fio empurra para cima, e para , a gravidade puxa para baixo.
Aplicando a segunda lei de Newton:
Para :
Para :
Como os fios são inextensíveis, as acelerações são relacionadas: .
Somando as duas equações:
Isolando :
Substituindo os valores:

Passo 5

Para verificar os resultados usando as leis de Newton, já aplicamos as equações de força e acelerção. Vimos que:
O valor encontrado para a aceleração confirma que, de fato, as forças atuantes foram corretamente consideradas e as relações entre massa, força e aceleração estão consistentes com as leis de Newton.

Resposta

As velocidades das massas após descer são . As acelerações das duas massas são . A verificação com as leis de Newton confirma esses resultados.

Exercícios relacionados

Dois vetores e são tais que . Qual é o ângulo entre e ?
Um homem deseja puxar um caixote em um piso plano, usando uma força de 100 N , para que o caixote se desloque 15 m . O coeficiente de atrito cinético é 0,25 . Para que o homem realize o maior trabalho possível, o ângulo entre a força e a horizontal deve ser
a- 0
b-
c-
d-
e-
A velocidade de uma partícula que se move sobre um plano é dada por , com em metros por segundo e ) em segundos.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.
Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?
Ao atingir o ponto a velocidade passa pelo seu valor mínimo, que, pelas (7.6.16) e (7.6.18), é dada por
(Note que , conforme foi observado por Galileu, para que o fio se enrosque (pg. 106), de modo que o membro da (7.6.19) é ).
A lei de Newton, aplicada ao ponto , onde a aceleração é puramente centrípeta (não há forças tangenciais), dá
onde é a tensão no fio, dirigida para baixo. Combinando as (7.6.19) e (7.6.20), obtemos:
Como o fio não pode exercer uma tensão negativa (ou seja, dirigida para cima), devemos ter , o que dá, pela (7.6.21),
Para , o fio não chega até o ponto : a tensão se anula para e fio se dobra, fazendo cair o pêndulo.