No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível,
e
. (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são
e
. Usando conservação da energia, calcule as velocidades de
e
depois que
desceu uma distância
. (b) Calcule a partir daí as acelerações
e
das duas massas. © Verifique os resultados usando as leis de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com duas massas,
e
, ligadas por fios em polias sem massa. O sistema é solto do repouso, e queremos encontrar as velocidades e acelerações das massas após
descer uma distância
. Para isso, vamos usar a conservação da energia e as leis de Newton. Precisaremos aplicar conceitos de energia potencial gravitacional e cinética, além das relações de força e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a conservação da energia para encontrar as velocidades das massas após
descer
. A energia total inicial é apenas a energia potencial gravitacional, já que o sistema parte do repouso.
A energia potencial inicial do sistema é:
Após a movimentação, as energias das massas mudam. A energia cinética das massas será:
E a energia potencial final é:
Como a energia total é conservada:
Passo 3
Como as polias e os fios são sem massa e os fios são inextensíveis, a descida de
implica na subida de
. Vamos relacionar as distâncias:
, já que para cada queda de
,
sobe a mesma distância.
Além disso, as velocidades também estão relacionadas:
. Substituindo isso na equação da conservação da energia:
Simplificando:
Assim:
Cancelando
:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos calcular as acelerações
e
. Para isso, usamos as leis de Newton.
Considerando as forças atuantes: para
, a tensão
no fio empurra para cima, e para
, a gravidade puxa para baixo.
Aplicando a segunda lei de Newton:
Para
:
Para
:
Como os fios são inextensíveis, as acelerações são relacionadas:
.
Somando as duas equações:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para verificar os resultados usando as leis de Newton, já aplicamos as equações de força e acelerção. Vimos que:
O valor encontrado para a aceleração confirma que, de fato, as forças atuantes foram corretamente consideradas e as relações entre massa, força e aceleração estão consistentes com as leis de Newton.
Resposta
As velocidades das massas após
descer
são
. As acelerações das duas massas são
. A verificação com as leis de Newton confirma esses resultados.
Exercícios relacionados
Dois vetores
e
são tais que
. Qual é o ângulo entre
e
?
Um homem deseja puxar um caixote em um piso plano, usando uma força de 100 N , para que o caixote se desloque 15 m . O coeficiente de atrito cinético é 0,25 . Para que o homem realize o maior trabalho possível, o ângulo entre a força e a horizontal deve ser
a- 0
b-
c-
d-
e-
a- 0
b-
c-
d-
e-
A velocidade
de uma partícula que se move sobre um plano
é dada por
, com
em metros por segundo e
) em segundos.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.
Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de
e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?
Ao atingir o ponto a velocidade
passa pelo seu valor mínimo, que, pelas (7.6.16) e (7.6.18), é dada por
Ao atingir o ponto
(Note que
, conforme foi observado por Galileu, para que o fio se enrosque (pg. 106), de modo que o
membro da (7.6.19) é
).
A lei de Newton, aplicada ao ponto
, onde a aceleração é puramente centrípeta (não há forças tangenciais), dá
A
onde
é a tensão no fio, dirigida para baixo. Combinando as (7.6.19) e (7.6.20), obtemos:
Como o fio não pode exercer uma tensão negativa (ou seja, dirigida para cima), devemos ter
, o que dá, pela (7.6.21),
Para
, o fio não chega até o ponto
: a tensão se anula para
e fio se dobra, fazendo cair o pêndulo.