A velocidade
de uma partícula que se move sobre um plano
é dada por
, com
em metros por segundo e
) em segundos.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função posição de uma partícula que se move no plano
. A partir do enunciado, sabemos que a velocidade
da partícula é dada por:
Isso significa que a velocidade na direção
depende do tempo
e a velocidade na direção
é constante. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função velocidade para obter a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as componentes da velocidade:
Agora, para encontrar a posição, precisamos integrar cada uma dessas componentes em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos integrar a componente
para encontrar
:
Aqui,
é a constante de integração para a direção
.
Passo 4
Agora, vamos integrar a componente
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração para a direção
.
Passo 5
Sabemos que a partícula partiu da origem, ou seja, quando
, a posição
é
. Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Para
:
Para
:
Resposta
A função posição da partícula é:
Exercícios relacionados
No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível,
e
. (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são
e
. Usando conservação da energia, calcule as velocidades de
e
depois que
desceu uma distância
. (b) Calcule a partir daí as acelerações
e
das duas massas. © Verifique os resultados usando as leis de Newton.
Dois vetores
e
são tais que
. Qual é o ângulo entre
e
?
Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de
e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?
Ao atingir o ponto a velocidade
passa pelo seu valor mínimo, que, pelas (7.6.16) e (7.6.18), é dada por
Ao atingir o ponto
(Note que
, conforme foi observado por Galileu, para que o fio se enrosque (pg. 106), de modo que o
membro da (7.6.19) é
).
A lei de Newton, aplicada ao ponto
, onde a aceleração é puramente centrípeta (não há forças tangenciais), dá
A
onde
é a tensão no fio, dirigida para baixo. Combinando as (7.6.19) e (7.6.20), obtemos:
Como o fio não pode exercer uma tensão negativa (ou seja, dirigida para cima), devemos ter
, o que dá, pela (7.6.21),
Para
, o fio não chega até o ponto
: a tensão se anula para
e fio se dobra, fazendo cair o pêndulo.