A velocidade
de uma partícula que se move sobre um plano
é dada por
, com
em metros por segundo e
) em segundos.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função posição de uma partícula que se move no plano
. A partir do enunciado, sabemos que a velocidade
da partícula é dada por:
Isso significa que a velocidade na direção
depende do tempo
e a velocidade na direção
é constante. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função velocidade para obter a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as componentes da velocidade:
Agora, para encontrar a posição, precisamos integrar cada uma dessas componentes em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos integrar a componente
para encontrar
:
Aqui,
é a constante de integração para a direção
.
Passo 4
Agora, vamos integrar a componente
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração para a direção
.
Passo 5
Sabemos que a partícula partiu da origem, ou seja, quando
, a posição
é
. Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Para
:
Para
:
Resposta
A função posição da partícula é: