A velocidade v de uma partícula que se move sobre um plano x y é dada por v=(6, 0 t-4, 0 t^2) i+8, 0 j, com v em metros por segundo e t(>0 ) em segundos.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função posição de uma partícula que se move no plano v(t) = (6 - 4t^2) i + 8 j . A partir do enunciado, sabemos que a velocidade da partícula é dada por:
Isso significa que a velocidade na direção depende do tempo e a velocidade na direção é constante. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função velocidade para obter a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da velocidade:
vx(t) = 6 - 4t^2 e vy(t) = 8
Agora, para encontrar a posição, precisamos integrar cada uma dessas componentes em relação ao tempo .

Passo 3

Vamos integrar a componente x(t) = integral vx(t), dt = integral (6 - 4t^2), dt = 6t - 43t^3 + Cx para encontrar :
Aqui, é a constante de integração para a direção .

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente y(t) = integral vy(t), dt = integral 8, dt = 8t + Cy para encontrar :
Onde é a constante de integração para a direção .

Passo 5

Sabemos que a partícula partiu da origem, ou seja, quando x(0) = 6(0) - 43(0)^3 + Cx = 0 Rightarrow Cx = 0 , a posição y(0) = 8(0) + Cy = 0 Rightarrow Cy = 0 é . Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Para :
Para :

Resposta

A função posição da partícula é:
r(t) = (6t - 43t^3) i + 8t j

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