A velocidade de uma partícula que se move sobre um plano é dada por , com em metros por segundo e ) em segundos.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função posição de uma partícula que se move no plano . A partir do enunciado, sabemos que a velocidade da partícula é dada por:
Isso significa que a velocidade na direção depende do tempo e a velocidade na direção é constante. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função velocidade para obter a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da velocidade:
Agora, para encontrar a posição, precisamos integrar cada uma dessas componentes em relação ao tempo .

Passo 3

Vamos integrar a componente para encontrar :
Aqui, é a constante de integração para a direção .

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente para encontrar :
Onde é a constante de integração para a direção .

Passo 5

Sabemos que a partícula partiu da origem, ou seja, quando , a posição é . Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Para :
Para :

Resposta

A função posição da partícula é:

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No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, e . (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são e . Usando conservação da energia, calcule as velocidades de e depois que desceu uma distância . (b) Calcule a partir daí as acelerações e das duas massas. © Verifique os resultados usando as leis de Newton.
Dois vetores e são tais que . Qual é o ângulo entre e ?
Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?
Ao atingir o ponto a velocidade passa pelo seu valor mínimo, que, pelas (7.6.16) e (7.6.18), é dada por
(Note que , conforme foi observado por Galileu, para que o fio se enrosque (pg. 106), de modo que o membro da (7.6.19) é ).
A lei de Newton, aplicada ao ponto , onde a aceleração é puramente centrípeta (não há forças tangenciais), dá
onde é a tensão no fio, dirigida para baixo. Combinando as (7.6.19) e (7.6.20), obtemos:
Como o fio não pode exercer uma tensão negativa (ou seja, dirigida para cima), devemos ter , o que dá, pela (7.6.21),
Para , o fio não chega até o ponto : a tensão se anula para e fio se dobra, fazendo cair o pêndulo.
pulo de uma perereca tem um alcance vertical de . Considerando que o ângulo de salto seja de em relação ao chão, qual é a intensidade, em de sua velocidade inicial?