Dois vetores formam os lados de um paralelogramo. Sendo R1=2 x+3 y-z, R2= -x+y+2 z, determine a área do paralelogramo A=|R1 times R2|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores que são os lados de um paralelogramo e pede para encontrarmos a área desse paralelogramo. Os vetores são:
R1 = 2 x + 3 y - z
R2 = -x + y + 2 z
Para achar a área $ A $ do paralelogramo formado por esses vetores, usamos a fórmula da magnitude do produto vetorial:
A
Vamos precisar saber como calcular o produto vetorial de dois vetores e depois encontrar a sua magnitude.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{R}{1} \times \vec{R}{2} $. O produto vetorial entre dois vetores em 3 dimensões pode ser calculado usando a matriz determinante:
R1 times R2

Passo 3

Agora, vamos expandir essa matriz para encontrar o produto vetorial. Lembrando como calcular o determinante de uma matriz 3x3:
R1 times R2 = x(3 cdot 2 - (-1) cdot 1) - y(2 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) + z(2 cdot 1 - 3 cdot (-1))
Vamos calcular cada parte:
Para $ \hat{x} $:
x
3 cdot 2 = 6
(-1) cdot 1 = -1
Para $ \hat{y} $:
6 - (-1) = 7
y
2 cdot 2 = 4
Para $ \hat{z} $:
(-1) cdot (-1) = 1
4 - 1 = 3
z

Passo 4

Substituindo esses valores de volta na expressão do produto vetorial:
R1 times R2 = 7x - 3y + 5z

Passo 5

Agora que temos o produto vetorial, vamos encontrar a sua magnitude para determinar a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor $ \vec{V} = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z} $ é dada por:
V = ax + by + cz
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
|V| = raiza^2 + b^2 + c^2

Resposta

A área do paralelogramo é $ \sqrt{83} $ unidades quadradas.

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