Dois vetores formam os lados de um paralelogramo. Sendo
, determine a área do paralelogramo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois vetores que são os lados de um paralelogramo e pede para encontrarmos a área desse paralelogramo. Os vetores são:
Para achar a área $ A $ do paralelogramo formado por esses vetores, usamos a fórmula da magnitude do produto vetorial:
Vamos precisar saber como calcular o produto vetorial de dois vetores e depois encontrar a sua magnitude.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{R}{1} \times \vec{R}{2} $. O produto vetorial entre dois vetores em 3 dimensões pode ser calculado usando a matriz determinante:
Passo 3
Agora, vamos expandir essa matriz para encontrar o produto vetorial. Lembrando como calcular o determinante de uma matriz 3x3:
Vamos calcular cada parte:
Para $ \hat{x} $:
Para $ \hat{y} $:
Para $ \hat{z} $:
Passo 4
Substituindo esses valores de volta na expressão do produto vetorial:
Passo 5
Agora que temos o produto vetorial, vamos encontrar a sua magnitude para determinar a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor $ \vec{V} = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z} $ é dada por:
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
Resposta
A área do paralelogramo é $ \sqrt{83} $ unidades quadradas.