Sabendo que o torque realizado sobre uma partícula por uma força F em partícula em r é dado por tau=F times d, qual o torque caso r=(2 x-3 y+z) m e F=(x+2 y-z) N ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta está relacionada ao cálculo do torque (τ) exercido por uma força (F) sobre uma partícula localizada em uma posição (r). O torque é um conceito da física que nos ajuda a entender a tendência de uma força para causar rotação em torno de um ponto. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do torque, que envolve o produto vetorial entre o vetor posição r e a força F. Precisamos calcular:
tau = r times F

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores fornecidos:
r = 2,x - 3,y + 1,z , m
F = 1,x + 2,y - 1,z , N
Aqui, \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Para calcular o produto vetorial \vec{r} \times \vec{F}, usamos a regra do determinante com uma matriz 3x3:
tau = x & y & z 2 & -3 & 1 1 & 2 & -1
Isso significa que vamos calcular cada componente do torque usando as entradas da matriz.

Passo 4

Vamos expandir o determinante para encontrar cada componente do torque:
tau = x cdot ( (-3)(-1) - (1)(2) ) - y cdot ( (2)(-1) - (1)(1) ) + z cdot ( (2)(2) - (-3)(1) )
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Calculando cada termo:
Para \hat{x}:
(-3)(-1) - (1)(2) = 3 - 2 = 1
Para \hat{y}:
(2)(-1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3
Para \hat{z}:
(2)(2) - (-3)(1) = 4 + 3 = 7

Passo 6

Agora, substituímos esses valores de volta na expressão do torque:
tau = x cdot 1 - y cdot (-3) + z cdot 7
Simplificando os sinais:
tau = x + 3,y + 7,z

Resposta

O torque resultante é:
tau = x + 3,y + 7,z , N·m

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