Dois vetores possuem módulos iguais a 3 e 10 metros. Sabe-se que o produto vetorial destes dois vetores resulta em um terceiro vetor c=(3 i-4 k) m. Determine qual é o ângulo entre os vetores. (Dica: utilize a expressão que envolve o módulo de um produto vetorial)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores com módulos de 3 e 10 metros. A gente precisa descobrir o ângulo entre eles usando o produto vetorial, que resulta no vetor . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do módulo do produto vetorial, que relaciona os módulos dos vetores, o seno do ângulo entre eles e o resultado do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor |c| = raizcx^2 + cy^2 + cz^2 . O módulo de um vetor |c| = raiz3^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 , m é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do módulo do produto vetorial:
|a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta)
Sabemos que 5 = 3 cdot 10 cdot sin(theta) , 5 = 30 cdot sin(theta) e . Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Para encontrar sin(theta) = 530 = 16 , isolamos a variável:

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta = arcsin(16) , usamos a função inversa do seno (arcsin):
theta approx 9,59^circ
Calculando isso:

Resposta

O ângulo entre os dois vetores é aproximadamente .

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