Dois vetores são dados por a=3,0 i+5,0 j e b=2,0 i+4,0 j. Determine (a) a times b, (b) a cdot b, © (a+b) a cdot b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois vetores, a=3,0, i+5,0, j e b=2,0, i+4,0, j. Precisamos calcular três coisas: o produto vetorial (a times b), o produto escalar (a cdot b) e uma expressão combinada (a+b) a cdot b. Para resolver, vamos usar as operações de produto vetorial e escalar de vetores.

Passo 2

Parte (a): Calculando o produto vetorial a times b
O produto vetorial entre dois vetores em duas dimensões resulta em um número escalar que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores. A fórmula para o produto vetorial é:
a times b = ax cdot by - ay cdot bx
Vamos substituir os valores:
a times b = 3,0 cdot 4,0 - 5,0 cdot 2,0 = 12,0 - 10,0 = 2,0

Passo 3

Parte (b): Calculando o produto escalar a cdot b
O produto escalar nos dá uma medida de quanto dois vetores estão alinhados. A fórmula é:
a cdot b = ax cdot bx + ay cdot by
Substituindo os valores:
a cdot b = 3,0 cdot 2,0 + 5,0 cdot 4,0 = 6,0 + 20,0 = 26,0

Passo 4

Parte ©: Calculando (a + b) cdot (a cdot b)
Primeiro, vamos encontrar a + b:
a + b = (3,0 + 2,0), i + (5,0 + 4,0), j = 5,0, i + 9,0, j
Agora, sabemos que a cdot b = 26,0 (da parte b). Então, multiplicamos o vetor a + b por esse escalar:
(a + b) cdot (a cdot b) = 5,0, i cdot 26,0 + 9,0, j cdot 26,0 = 130,0, i + 234,0, j

Resposta

(a) a times b = 2,0
(b) a cdot b = 26,0
© (a + b) cdot (a cdot b) = 130,0, i + 234,0, j

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