Uma lâmpada de H2 tem volume de 1.0 dm^3 e contém 1.0 times 10^23 moléculas de H2. Se a pressão exercida pelo gás é 100 kPa , quais são: a) a temperatura do gás? B) a raiz quadrática do quadrado das velocidades das moléculas? C) A temperatura seria diferente se nesta lâmpada contivesse O2 no lugar de H2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lâmpada que contém gás hidrogênio ( H2) com um volume de 1.0 dm^3, 1.0 times 10^23 moléculas e exerce uma pressão de 100 kPa. A matéria que vamos usar aqui é a Termodinâmica dos Gases Ideais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar das leis dos gases ideais, da constante de Boltzmann e das fórmulas para velocidade quadrática média das moléculas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
  • 1, dm^3 = 1 times 10^-3, m^3
Então, o volume V = 1.0 times 10^-3, m^3.

Passo 3

Vamos para a parte (a): Calcular a temperatura do gás. Usamos a equação dos gases ideais:
PV = NkB T
Onde:
  • P = 100, kPa = 1.0 times 10^5, Pa
  • V = 1.0 times 10^-3, m^3
  • N = 1.0 times 10^23
  • kB = 1.38 times 10^-23, J/K (constante de Boltzmann)
  • T é a temperatura que queremos encontrar.
Rearranjando a equação para resolver T:
T = P VN kB

Passo 4

Substituindo os valores:
T = 1.0 times 10^5, Pa times 1.0 times 10^-3, m^31.0 times 10^23 times 1.38 times 10^-23, J/K
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
1.0 times 10^5 times 1.0 times 10^-3 = 1.0 times 10^2, Pa cdot m^3 = 100, J
(lembrando que 1, Pa cdot m^3 = 1, J)
Denominador:
1.0 times 10^23 times 1.38 times 10^-23 = 1.38
Então,
T = 1001.38 approx 72.46, K

Passo 5

Agora, a parte (b): Calcular a velocidade quadrática média das moléculas. A fórmula para a velocidade quadrática média ( vrms) é:
vrms = raiz3 kB Tm
Onde:
  • kB = 1.38 times 10^-23, J/K
  • T = 72.46, K (que calculamos)
  • m é a massa de uma molécula de H2.
Primeiro, precisamos encontrar a massa de uma molécula de H2. A massa molar do H2 é aproximadamente 2, g/mol, ou 0.002, kg/mol. Sabemos que:
m = massa molarNA
Onde NA = 6.022 times 10^23, mol^-1 (constante de Avogadro).

Passo 6

Calculando m:
m = 0.002, kg/mol6.022 times 10^23, mol^-1 approx 3.32 times 10^-27, kg
Agora, substituindo na fórmula do vrms:
vrms = raiz3 times 1.38 times 10^-23, J/K times 72.46, K3.32 times 10^-27, kg

Passo 7

Calculando dentro da raiz:
3 times 1.38 times 10^-23 times 72.463.32 times 10^-27 approx 3 times 1.38 times 72.46 times 10^-233.32 times 10^-27
= 300.1236 times 10^-233.32 times 10^-27 approx 9.05 times 10^3, m^2/s^2
Então,
vrms = raiz9.05 times 10^3 approx 95.2, m/s

Passo 8

Por fim, a parte ©: A temperatura seria diferente se a lâmpada contivesse O2 no lugar de H2?
Usando a mesma equação dos gases ideais:
T = P VN kB
Vemos que a temperatura T depende de pressão P, volume V, número de moléculas N e da constante de Boltzmann kB. Não há dependência direta da massa das moléculas. Portanto, se mantivermos P, V e N iguais, a temperatura T permaneceria a mesma, independentemente de usar O2 ou H2.

Resposta

a) A temperatura do gás é aproximadamente 72.46, K.
b) A velocidade quadrática média das moléculas é cerca de 95.2, m/s.
c) A temperatura não seria diferente se a lâmpada contivesse O2 no lugar de H2, mantendo-se iguais pressão, volume e número de moléculas.

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