Dois vetores são dados por a=3,0 i+5,0 j e b=2,0 i+4,0 j. Determine (a) a cdot b, (b) a times b, © (a+b) cdot b.

Passo 1

Olá! Vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial. A questão nos dá dois vetores, a e b, e pede para calcular o produto escalar a cdot b, o produto vetorial a times b e o produto escalar de (a+b) com b. Para isso, vamos precisar entender como calcular produtos escalar e vetorial entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b. O produto escalar entre dois vetores u = ux i + uy j e v = vx i + vy j é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy
Aplicando isso aos nossos vetores:
a cdot b = (3,0)(2,0) + (5,0)(4,0) = 3 times 2 + 5 times 4 = 6 + 20 = 26

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b. No caso de vetores no plano, o produto vetorial resulta em um escalar que representa a magnitude do vetor perpendicular aos dois vetores originais, calculado por:
a times b = ax by - ay bx
Calculando:
a times b = 3 times 4 - 5 times 2 = 12 - 10 = 2

Passo 4

Por fim, vamos calcular (a+b) cdot b. Primeiro, somamos os vetores:
a + b = (3,0 + 2,0) i + (5,0 + 4,0) j = 5,0 i + 9,0 j
Agora, aplicamos o produto escalar:
(a + b) cdot b = 5,0 times 2,0 + 9,0 times 4,0 = 10 + 36 = 46

Resposta

(a) a cdot b = 26
(b) a times b = 2
© (a+b) cdot b = 46

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