Quando dois vetores a e b são desenhados a partir de um mesmo ponto, formam entre si um ângulo phi. (a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma a+b é dado por raiza^2+b^2+2 a b cos phi.
(b) Se a e b possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de phi para que o módulo da soma destes vetores seja igual ao módulo de a ou de b ? © Deduza o resultado análogo ao do item (a) para o módulo da diferença vetorial a-b. (d) Se a e b possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de phi para que o módulo de a-b seja igual ao módulo de a ou de b ? Sugestão: Escolha uma orientação adequada para o sistema de coordenadas e determine os componentes dos vetores ao longo dos eixos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve vetores e algumas operações com eles. A matéria que vamos usar aqui é de técnicas vetoriais e um pouco de trigonometria. Precisamos entender como somar e subtrair vetores, além de calcular seus módulos (ou comprimentos). Vamos resolver as partes (a), (b), © e (d) passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Queremos mostrar que o módulo da soma de dois vetores a + b é dado por raiza^2 + b^2 + 2abcosphi, onde phi é o ângulo entre eles.
Para isso, vamos usar a fórmula do módulo da soma de dois vetores:
|a + b| = raiz|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosphi
Aqui, |a| = a e |b| = b, então substituindo:
|a + b| = raiza^2 + b^2 + 2abcosphi

Passo 3

Parte (b): Agora, se a e b têm o mesmo módulo, ou seja, a = b, queremos encontrar o valor de phi tal que o módulo da soma seja igual a a (ou b).
Usando a fórmula que encontramos na parte (a):
a = raiza^2 + a^2 + 2a cdot a cosphi
Simplificando:
a = raiz2a^2 + 2a^2cosphi
Elevando ambos os lados ao quadrado:
a^2 = 2a^2 + 2a^2cosphi
Dividindo por a^2:
1 = 2 + 2cosphi
Resolvendo para cosphi:
2cosphi = -1 Rightarrow cosphi = -12
O ângulo cujo cosseno é -12 é phi = 120^circ (ou 2pi/3 radianos).

Passo 4

Parte ©: Precisamos deduzir o resultado análogo para o módulo da diferença vetorial a - b. Vamos usar uma abordagem similar à parte (a).
A fórmula para o módulo da diferença de dois vetores é:
|a - b| = raiza^2 + b^2 - 2abcosphi
Isso ocorre porque, ao subtrair os vetores, o ângulo efetivo entre eles para a operação de soma interna é 180^circ - phi, e cos(180^circ - phi) = -cosphi.

Passo 5

Parte (d): Se a e b têm o mesmo módulo ( a = b), queremos encontrar o valor de phi tal que o módulo da diferença seja igual a a (ou b).
Usando a fórmula da parte ©:
a = raiza^2 + a^2 - 2a^2cosphi
Simplificando:
a = raiz2a^2 - 2a^2cosphi
Elevando ambos os lados ao quadrado:
a^2 = 2a^2 - 2a^2cosphi
Dividindo por a^2:
1 = 2 - 2cosphi
Resolvendo para cosphi:
2cosphi = 1 Rightarrow cosphi = 12
O ângulo cujo cosseno é 12 é phi = 60^circ (ou pi/3 radianos).

Resposta

(a) Mostramos que |a + b| = raiza^2 + b^2 + 2abcosphi.
(b) Quando a = b, o ângulo phi deve ser 120^circ.
© O módulo da diferença é |a - b| = raiza^2 + b^2 - 2abcosphi.
(d) Quando a = b, o ângulo phi deve ser 60^circ.

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