Quando dois vetores e são desenhados a partir de um mesmo ponto, formam entre si um ângulo . (a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma é dado por .
(b) Se e possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de para que o módulo da soma destes vetores seja igual ao módulo de ou de ? © Deduza o resultado análogo ao do item (a) para o módulo da diferença vetorial . (d) Se e possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de para que o módulo de seja igual ao módulo de ou de ? Sugestão: Escolha uma orientação adequada para o sistema de coordenadas e determine os componentes dos vetores ao longo dos eixos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve vetores e algumas operações com eles. A matéria que vamos usar aqui é de técnicas vetoriais e um pouco de trigonometria. Precisamos entender como somar e subtrair vetores, além de calcular seus módulos (ou comprimentos). Vamos resolver as partes (a), (b), © e (d) passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Queremos mostrar que o módulo da soma de dois vetores é dado por , onde é o ângulo entre eles.
Para isso, vamos usar a fórmula do módulo da soma de dois vetores:
Aqui, e , então substituindo:

Passo 3

Parte (b): Agora, se e têm o mesmo módulo, ou seja, , queremos encontrar o valor de tal que o módulo da soma seja igual a (ou ).
Usando a fórmula que encontramos na parte (a):
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Dividindo por :
Resolvendo para :
O ângulo cujo cosseno é é (ou radianos).

Passo 4

Parte ©: Precisamos deduzir o resultado análogo para o módulo da diferença vetorial . Vamos usar uma abordagem similar à parte (a).
A fórmula para o módulo da diferença de dois vetores é:
Isso ocorre porque, ao subtrair os vetores, o ângulo efetivo entre eles para a operação de soma interna é , e .

Passo 5

Parte (d): Se e têm o mesmo módulo ( ), queremos encontrar o valor de tal que o módulo da diferença seja igual a (ou ).
Usando a fórmula da parte ©:
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Dividindo por :
Resolvendo para :
O ângulo cujo cosseno é é (ou radianos).

Resposta

(a) Mostramos que .
(b) Quando , o ângulo deve ser .
© O módulo da diferença é .
(d) Quando , o ângulo deve ser .

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