Quando dois vetores
e
são desenhados a partir de um mesmo ponto, formam entre si um ângulo
. (a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma
é dado por
.
(b) Se
e
possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de
para que o módulo da soma destes vetores seja igual ao módulo de
ou de
? © Deduza o resultado análogo ao do item (a) para o módulo da diferença vetorial
. (d) Se
e
possuem o mesmo módulo, qual deve ser o valor de
para que o módulo de
seja igual ao módulo de
ou de
? Sugestão: Escolha uma orientação adequada para o sistema de coordenadas e determine os componentes dos vetores ao longo dos eixos.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve vetores e algumas operações com eles. A matéria que vamos usar aqui é de técnicas vetoriais e um pouco de trigonometria. Precisamos entender como somar e subtrair vetores, além de calcular seus módulos (ou comprimentos). Vamos resolver as partes (a), (b), © e (d) passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Queremos mostrar que o módulo da soma de dois vetores
é dado por
, onde
é o ângulo entre eles.
Para isso, vamos usar a fórmula do módulo da soma de dois vetores:
Aqui,
e
, então substituindo:
Passo 3
Parte (b): Agora, se
e
têm o mesmo módulo, ou seja,
, queremos encontrar o valor de
tal que o módulo da soma seja igual a
(ou
).
Usando a fórmula que encontramos na parte (a):
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Dividindo por
:
Resolvendo para
:
O ângulo cujo cosseno é
é
(ou
radianos).
Passo 4
Parte ©: Precisamos deduzir o resultado análogo para o módulo da diferença vetorial
. Vamos usar uma abordagem similar à parte (a).
A fórmula para o módulo da diferença de dois vetores é:
Isso ocorre porque, ao subtrair os vetores, o ângulo efetivo entre eles para a operação de soma interna é
, e
.
Passo 5
Parte (d): Se
e
têm o mesmo módulo (
), queremos encontrar o valor de
tal que o módulo da diferença seja igual a
(ou
).
Usando a fórmula da parte ©:
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Dividindo por
:
Resolvendo para
:
O ângulo cujo cosseno é
é
(ou
radianos).
Resposta
(a) Mostramos que
.
(b) Quando , o ângulo
deve ser
.
© O módulo da diferença é .
(d) Quando , o ângulo
deve ser
.
(b) Quando
© O módulo da diferença é
(d) Quando
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