Beleza, então vamos lá! A questão pede pra gente descobrir o domínio da função e também fazer um esboço do gráfico dela. Isso envolve entender um pouquinho de funções racionais e de valores absolutos. Vamos precisar lembrar como identificar o domínio de uma função e como trabalhar com gráficos de funções que envolvem valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função , percebemos que ela envolve uma divisão por . Então, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque não dá pra dividir por zero, certo?
Passo 3
Vamos resolver . Isso significa que , ou seja, . Portanto, o único valor que não está no domínio é .
Passo 4
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto . Em notação, fica assim:
í
Passo 5
Agora, vamos para o gráfico. Primeiro, vamos analisar a função dentro do valor absoluto:
Sabemos que é sempre positivo, a menos que , que já excluímos do domínio. Então, vai sempre ser negativo ou zero (mas nunca zero nesse caso). Ao somar 1, vamos ver como isso afeta o valor.
Passo 6
Vamos encontrar pontos-chave. Por exemplo, quando :
Então, .
Quando :
Então, .
Passo 7
Vamos analisar o comportamento para e .
Para , aumenta conforme se afasta de -1, então se aproxima de 0. Assim, se aproxima de 1, e .
Para , o mesmo acontece: conforme se afasta de -1, aumenta, se aproxima de 0, portanto se aproxima de 1, e .
Passo 8
No ponto , temos uma assimptota vertical, pois a função não está definida lá e os valores de tendem a 1 conforme nos aproximamos de -1 por ambos os lados.
Passo 9
Resumindo, o gráfico de é uma linha horizontal em para todos os diferentes de -1, com dois pontos onde em e , e uma assimptota vertical em .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais exceto . O gráfico de é uma linha horizontal em para todos os , passa pelos pontos (0, 0) e (-2, 0), e possui uma assimptota vertical em .