Dê o domínio e esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão pede pra gente descobrir o domínio da função e também fazer um esboço do gráfico dela. Isso envolve entender um pouquinho de funções racionais e de valores absolutos. Vamos precisar lembrar como identificar o domínio de uma função e como trabalhar com gráficos de funções que envolvem valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função , percebemos que ela envolve uma divisão por . Então, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque não dá pra dividir por zero, certo?

Passo 3

Vamos resolver . Isso significa que , ou seja, . Portanto, o único valor que não está no domínio é .

Passo 4

Então, o domínio da função é todos os números reais exceto . Em notação, fica assim:
í

Passo 5

Agora, vamos para o gráfico. Primeiro, vamos analisar a função dentro do valor absoluto:
Sabemos que é sempre positivo, a menos que , que já excluímos do domínio. Então, vai sempre ser negativo ou zero (mas nunca zero nesse caso). Ao somar 1, vamos ver como isso afeta o valor.

Passo 6

Vamos encontrar pontos-chave. Por exemplo, quando :
Então, .
Quando :
Então, .

Passo 7

Vamos analisar o comportamento para e .
Para , aumenta conforme se afasta de -1, então se aproxima de 0. Assim, se aproxima de 1, e .
Para , o mesmo acontece: conforme se afasta de -1, aumenta, se aproxima de 0, portanto se aproxima de 1, e .

Passo 8

No ponto , temos uma assimptota vertical, pois a função não está definida lá e os valores de tendem a 1 conforme nos aproximamos de -1 por ambos os lados.

Passo 9

Resumindo, o gráfico de é uma linha horizontal em para todos os diferentes de -1, com dois pontos onde em e , e uma assimptota vertical em .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto . O gráfico de é uma linha horizontal em para todos os , passa pelos pontos (0, 0) e (-2, 0), e possui uma assimptota vertical em .

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Dê o domínio e esboce o gráfico.
Dada a função , determine: o gráfico da inversa.
Seja uma função real dada por . Determine os zeros, o gráfico e o conjunto imagem de .
Dê o ponto em que o gráfico de corta o eixo .