Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função e esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções absolutas e suas propriedades.

Passo 2

Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Na função , temos um valor absoluto. O valor absoluto de qualquer número real é sempre definido, ou seja, não há restrições sobre os valores de que podemos substituir na função.

Passo 3

Como não há nenhuma operação que restrinja o domínio (como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo), concluímos que o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
Dominio:

Passo 4

Esboço do Gráfico
Agora, vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos analisar a forma da função passo a passo.
  1. Função Absoluta Básica: A função tem um gráfico em forma de “V” com vértice na origem .
  2. Translação Horizontal: Na nossa função, temos , o que significa que o gráfico da função absoluta foi deslocado 2 unidades para a esquerda. Portanto, o vértice agora está em .
  3. Translação Vertical: Adicionando 1, a função inteira é deslocada 1 unidade para cima. Assim, o vértice final fica em .

Passo 5

Identificando o Vértice
O vértice da função acontece quando a expressão dentro do valor absoluto é zero:
Substituindo na função:
Portanto, o vértice é o ponto .

Passo 6

Desenhando o Gráfico
A partir do vértice :
  • Para , a expressão dentro do valor absoluto é positiva, então a função se comporta como . Isso é uma reta com inclinação 1.
  • Para , a expressão dentro do valor absoluto é negativa, então a função se comporta como . Isso é uma reta com inclinação -1.
Portanto, o gráfico é uma “V” simétrica em relação à vertical que passa pelo vértice .

Resposta

O domínio da função é . O gráfico de é uma forma de “V” com vértice no ponto , deslocada 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima.

Exercícios relacionados

Seja , uma função.
Assumindo que , calcule
Em cada caso abaixo calcule , caso existam.
.
Em cada caso abaixo calcule , caso existam.
.
Em cada caso abaixo calcule , caso existam.
.