Seja f: R longrightarrow R, uma função.
Assumindo que lim x 2 f(x)x^2=1, calcule lim x 2 f(x)x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função que vai de para . Sabemos que quando se aproxima de 2, o limite de é igual a 1. Nosso objetivo é descobrir qual é o limite de quando também se aproxima de 2. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de limites e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que limx to 2 f(x) = limx to 2 x^2 cdot limx to 2 f(x)x^2 . Isso quer dizer que, perto de , a função se comporta de forma semelhante a . Podemos reescrever essa relação multiplicando ambos os lados por :

Passo 3

Sabemos que limx to 2 f(x) = 4 cdot 1 = 4 e (já que ). Então:
Isso significa que, quando se aproxima de 2, o valor de se aproxima de 4.

Passo 4

Agora, queremos encontrar limx to 2 f(x)x = limx to 2 f(x)limx to 2 x = 42 = 2 . Já sabemos que e . Podemos usar a propriedade dos limites que diz que o limite de uma divisão é a divisão dos limites (desde que o denominador não seja zero):

Resposta

O limite é igual a .

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