Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
f(x) = raiz(1 + 1/x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o domínio da função e explicar por que essa função é contínua em todo o seu domínio. Isso tá ligado ao estudo de funções e seus comportamentos, especialmente onde elas estão definidas e como se comportam sem “quebras”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá nenhum problema matemático, como divisão por zero ou radiciação de números negativos.

Passo 3

Olha só a nossa função: . Temos duas coisas que precisamos considerar para definir o domínio:
  1. Divisão por zero: A expressão não pode ter , porque não dá pra dividir por zero.
  2. Radiciação de números negativos: A expressão dentro da raiz quadrada, , tem que ser não negativa (ou seja, maior ou igual a zero), já que a raiz de número negativo não é real.

Passo 4

Vamos resolver a primeira condição: .
Isso já nos diz que pode ser qualquer número real menos zero.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda condição: .
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por (lembre-se: se multiplicar por um número negativo, a desigualdade inverte):
  • Se :
    Como , essa condição já é satisfeita.
  • Se :
    Multiplicando por (negativo), a desigualdade vira:

Passo 6

Juntando tudo:
  • Para : a expressão dentro da raiz é positiva, então está tudo certo.
  • Para : a expressão interna é positiva somente se .
E, claro, .

Passo 7

Então, o domínio da função é:

Passo 8

Agora, vamos falar sobre a continuidade da função nesse domínio. Uma função é contínua em um intervalo se não tem “buracos”, “saltos” ou “interrupções”.
Nossa função é uma composição de duas funções:
  1. : É contínua onde está definida, ou seja, para .
  2. : Também é contínua para .
Como a composição de funções contínuas é contínua no intervalo onde ambas estão definidas, é contínua em todo o seu domínio .

Resposta

O domínio da função é , e a função é contínua em todo esse domínio.

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Calcule os limites abaixo.
lim x 3^- e^x(x-3)^3
A função maior inteiro é definida por [[x]], que por definição, é o maior número inteiro n tal que n <= x. Por exemplo, [[4,8]]=4. Calcule, se existir:
lim x -2[[x]]
Usando o Teorema do confronto, prove que
lim x 0^+ raizx e^sen(pi / x)=0
Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
f(x) = arcsen(1 + 2x)