Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o domínio da função
e explicar por que essa função é contínua em todo o seu domínio. Isso tá ligado ao estudo de funções e seus comportamentos, especialmente onde elas estão definidas e como se comportam sem “quebras”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá nenhum problema matemático, como divisão por zero ou radiciação de números negativos.
Passo 3
Olha só a nossa função:
. Temos duas coisas que precisamos considerar para definir o domínio:
- Divisão por zero: A expressão
não pode ter , porque não dá pra dividir por zero. - Radiciação de números negativos: A expressão dentro da raiz quadrada,
, tem que ser não negativa (ou seja, maior ou igual a zero), já que a raiz de número negativo não é real.
Passo 4
Vamos resolver a primeira condição:
.
Isso já nos diz que
pode ser qualquer número real menos zero.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda condição:
.
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por
(lembre-se: se multiplicar por um número negativo, a desigualdade inverte):
-
Se
: Como, essa condição já é satisfeita. -
Se
: Multiplicando por(negativo), a desigualdade vira:
Passo 6
Juntando tudo:
- Para
: a expressão dentro da raiz é positiva, então está tudo certo. - Para
: a expressão interna é positiva somente se .
E, claro,
.
Passo 7
Então, o domínio da função
é:
Passo 8
Agora, vamos falar sobre a continuidade da função nesse domínio. Uma função é contínua em um intervalo se não tem “buracos”, “saltos” ou “interrupções”.
Nossa função
é uma composição de duas funções:
-
: É contínua onde está definida, ou seja, para . -
: Também é contínua para .
Como a composição de funções contínuas é contínua no intervalo onde ambas estão definidas,
é contínua em todo o seu domínio
.
Resposta
O domínio da função
é
, e a função é contínua em todo esse domínio.
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Calcule os limites abaixo.
A função maior inteiro é definida por
, que por definição, é o maior número inteiro
tal que
. Por exemplo,
. Calcule, se existir:
Usando o Teorema do confronto, prove que
Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.