Usando o Teorema do confronto, prove que
Passo 1
Vamos entender qual é o problema. Precisamos provar que o limite de
quando
se aproxima de
pelo lado positivo é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema é útil quando conseguimos “apertar” a função que queremos analisar entre duas outras funções cujo limite conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da expressão que está dentro do exponencial:
. Sabemos que, para qualquer valor de
, o seno de um número está sempre entre
e
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a função exponencial a todos os lados dessa desigualdade. A função
é uma função crescente, ou seja, se
, então
. Então, aplicando isso, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar todos os lados da desigualdade pela
. Como
é sempre não negativa para
, a desigualdade se mantém na mesma direção:
Passo 5
Vamos analisar os limites das extremidades quando
se aproxima de
. Sabemos que
tende a
quando
tende a
. Como
e
são constantes, temos:
e
Passo 6
De acordo com o Teorema do Confronto, se uma função está “apertada” entre duas funções que ambas têm o mesmo limite em um ponto, então a função também tem esse limite. No nosso caso:
e ambos os lados tendem a
quando
. Portanto, pela Teorema do Confronto:
Resposta
O limite é
.
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Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
Calcule os limites abaixo.
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Mostre que a equação
, para
. Justifique por que podemos afirmar que existe
tal que
.