Usando o Teorema do confronto, prove que
lim x 0^+ raizx e^sen(pi / x)=0

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. Precisamos provar que o limite de raizx cdot e^sin(pi / x) quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo é igual a 0. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema é útil quando conseguimos “apertar” a função que queremos analisar entre duas outras funções cujo limite conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da expressão que está dentro do exponencial: sin(pi / x). Sabemos que, para qualquer valor de x, o seno de um número está sempre entre -1 e 1. Então, temos:
-1 <= sin(pix) <= 1

Passo 3

Agora, vamos aplicar a função exponencial a todos os lados dessa desigualdade. A função e^y é uma função crescente, ou seja, se a <= b, então e^a <= e^b. Então, aplicando isso, obtemos:
e^-1 <= e^sin(pix) <= e^1

Passo 4

Agora, vamos multiplicar todos os lados da desigualdade pela raizx. Como raizx é sempre não negativa para x > 0, a desigualdade se mantém na mesma direção:
raizx cdot e^-1 <= raizx cdot e^sin(pix) <= raizx cdot e^1

Passo 5

Vamos analisar os limites das extremidades quando x se aproxima de 0^+. Sabemos que raizx tende a 0 quando x tende a 0. Como e^-1 e e^1 são constantes, temos:
limx to 0^+ raizx cdot e^-1 = 0
e
limx to 0^+ raizx cdot e^1 = 0

Passo 6

De acordo com o Teorema do Confronto, se uma função está “apertada” entre duas funções que ambas têm o mesmo limite em um ponto, então a função também tem esse limite. No nosso caso:
raizx cdot e^-1 <= raizx cdot e^sin(pix) <= raizx cdot e^1
e ambos os lados tendem a 0 quando x to 0^+. Portanto, pela Teorema do Confronto:
limx to 0^+ raizx cdot e^sin(pix) = 0

Resposta

O limite é 0.

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