Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
f(x) = arcsen(1 + 2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o domínio da função e explicar por que ela é contínua nesse domínio. Basicamente, precisamos descobrir para quais valores de a expressão dentro do arco seno faz sentido e garantir que a função não tenha quebras ou saltos nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que fazem a função ser válida, ou seja, que não causam erros matemáticos como divisão por zero ou raízes de números negativos quando não são permitidas.

Passo 3

Agora, focando na função , sabemos que o arco seno só está definido para valores de entre -1 e 1. Isso porque o seno de um ângulo sempre resulta em um valor dentro desse intervalo.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função, temos que deve estar entre -1 e 1:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de .

Passo 5

Primeiro, diminuímos 1 em todas as partes da desigualdade:

Passo 6

Agora, dividimos tudo por 2 para isolar :

Passo 7

Então, o domínio da função é todo que está entre -1 e 0, ou seja, .

Passo 8

Por último, vamos ver por que a função é contínua nesse domínio. A função é contínua para todo em seu domínio, que já estabelecemos ser entre -1 e 1. Como também é uma função contínua (é uma função linear), a composição das duas funções mantém a continuidade dentro do intervalo onde está definida.

Resposta

O domínio da função é . A função é contínua em todo o seu domínio porque tanto a função quanto a função linear são contínuas, e a composição delas preserva essa continuidade.

Exercícios relacionados

Usando o Teorema do confronto, prove que
lim x 0^+ raizx e^sen(pi / x)=0
Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
f(x) = raiz(1 + 1/x)
Mostre que a equação x^3 - 5 x^2 + 7 x = 0, para x em R. Justifique por que podemos afirmar que existe x0 em R tal que f(x0) = 100.
Calcule a derivada.
g) s = e^t tg(t)