Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o domínio da função
e explicar por que ela é contínua nesse domínio. Basicamente, precisamos descobrir para quais valores de
a expressão dentro do arco seno faz sentido e garantir que a função não tenha quebras ou saltos nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que fazem a função ser válida, ou seja, que não causam erros matemáticos como divisão por zero ou raízes de números negativos quando não são permitidas.
Passo 3
Agora, focando na função
, sabemos que o arco seno só está definido para valores de
entre -1 e 1. Isso porque o seno de um ângulo sempre resulta em um valor dentro desse intervalo.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função, temos que
deve estar entre -1 e 1:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
.
Passo 5
Primeiro, diminuímos 1 em todas as partes da desigualdade:
Passo 6
Agora, dividimos tudo por 2 para isolar
:
Passo 7
Então, o domínio da função
é todo
que está entre -1 e 0, ou seja,
.
Passo 8
Por último, vamos ver por que a função é contínua nesse domínio. A função
é contínua para todo
em seu domínio, que já estabelecemos ser entre -1 e 1. Como
também é uma função contínua (é uma função linear), a composição das duas funções
mantém a continuidade dentro do intervalo onde está definida.
Resposta
O domínio da função
é
. A função é contínua em todo o seu domínio porque tanto a função
quanto a função linear
são contínuas, e a composição delas preserva essa continuidade.
Exercícios relacionados
Usando o Teorema do confronto, prove que
Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
Mostre que a equação
, para
. Justifique por que podemos afirmar que existe
tal que
.
Calcule a derivada.
g)
g)