Mostre que a equação
, para
. Justifique por que podemos afirmar que existe
tal que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a equação
e queremos mostrar que existe um número real
tal que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação
. Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá uma solução imediata:
. Para encontrar as outras soluções, resolvemos a equação quadrática
.
Passo 3
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver
:
Como a raiz dentro da raiz quadrada é negativa (
), não existem soluções reais para essa parte da equação. Portanto, a única solução real da equação original é
.
Passo 4
Agora, queremos justificar por que existe um
tal que
. Vamos considerar a função
.
Passo 5
Para usar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos verificar se a função
é contínua no intervalo que vamos considerar e se 100 está entre os valores que
assume nesse intervalo.
Passo 6
Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, que neste caso é
. Então,
é contínua em qualquer intervalo real.
Passo 7
Vamos escolher dois valores de
para encontrar dois pontos onde
está abaixo e acima de 100.
Por exemplo:
- Para
: - Para
:
Passo 8
Observamos que
e
. Como
é contínua e 100 está entre 35 e 570, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um
no intervalo
tal que
.
Resposta
Existe pelo menos um número real
tal que
, garantido pelo Teorema do Valor Intermediário.
Exercícios relacionados
Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
Usando o Teorema do confronto, prove que
Calcule a derivada.
g)
g)