Mostre que a equação x^3 - 5 x^2 + 7 x = 0, para x em R. Justifique por que podemos afirmar que existe x0 em R tal que f(x0) = 100.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a equação e queremos mostrar que existe um número real tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação . Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá uma solução imediata: . Para encontrar as outras soluções, resolvemos a equação quadrática .

Passo 3

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver :
Como a raiz dentro da raiz quadrada é negativa ( ), não existem soluções reais para essa parte da equação. Portanto, a única solução real da equação original é .

Passo 4

Agora, queremos justificar por que existe um tal que . Vamos considerar a função .

Passo 5

Para usar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo que vamos considerar e se 100 está entre os valores que assume nesse intervalo.

Passo 6

Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, que neste caso é . Então, é contínua em qualquer intervalo real.

Passo 7

Vamos escolher dois valores de para encontrar dois pontos onde está abaixo e acima de 100.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Observamos que e . Como é contínua e 100 está entre 35 e 570, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um no intervalo tal que .

Resposta

Existe pelo menos um número real tal que , garantido pelo Teorema do Valor Intermediário.

Exercícios relacionados

Dê o domínio das funções abaixo e explique porque as funções abaixo são contínuas em todo o seu domínio.
f(x) = arcsen(1 + 2x)
Usando o Teorema do confronto, prove que
lim x 0^+ raizx e^sen(pi / x)=0
Calcule a derivada.
g) s = e^t tg(t)
(π/2 + 2kπ, 3) e ((4π/2 + 2kπ, -1) k int)