Um dormitório em uma grande universidade, foi construído há muitos anos, e as paredes externas têm um área total de A=400 m^2, e foram construídas com um forro de madeira, de condutividade térmica kf=0,18 W /(m cdot K) e espessura Lf=50 mm. Devido ao elevado custo com aquecimento do ambiente interno do dormitório, e visando reduzir a perda térmica através das paredes no inverno, a universidade decidiu encapsular todo o dormitório com a aplicação de uma camada de Li=45 mm de isolante extrudado com ki=0,048 W /(m cdot K) na superfície externa do forro. Para garantir proteção e durabilidade do isolante extrudado, o mesmo é, por sua vez, coberto com vidro arquitetônico, Lv=5 mm com kv=1,4 W /(m cdot K). Sendo o vapor gerado em uma caldeira alimentada por gás natural, operando com uma eficiência de eta=0,85, e o gás natural cotado a Cg= por MJ , qual é economia mensal obtida pela aplicação do isolante nas paredes do dormitório?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício nos pede. Temos um dormitório com paredes externas de área total de . Essas paredes são compostas por um forro de madeira e, recentemente, foi adicionada uma camada de isolante extrudado e uma cobertura de vidro arquitetônico. O objetivo é calcular a economia mensal no custo de aquecimento que resulta da aplicação desse isolante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução térmica e cálculo de perda de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a perda de calor através das paredes sem o isolante adicional. A taxa de perda de calor por condução é dada pela fórmula:
Q = k cdot A cdot De
onde:
  • é a perda de calor,
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área,
  • é a diferença de temperatura entre o interior e o exterior,
  • é a espessura do material.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para o forro de madeira. A condutividade térmica da madeira é Qsem isolante = 0,18 cdot 400 cdot De e sua espessura é . A área . Assumindo uma diferença de temperatura constante , a perda de calor sem o isolante é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a perda de calor com a camada adicional de isolante extrudado e vidro. A resistência térmica total em um sistema em série é a soma das resistências individuais:
1Qtotal = 1Qf + 1Qi + 1Qv
Mas de forma mais simples, a perda de calor total com múltiplas camadas é:
Qcom isolante = ktotal cdot A cdot De
onde e levam em conta as diferentes camadas.

Passo 5

Para camadas em série, a resistência térmica total Rtotal = Rf + Ri + Rv = Lfkf + Liki + Lvkv é:
Rf = 0,050,18 = 0,2778 , m^2 cdot K/W
Calculando cada resistência:
Ri = 0,0450,048 = 0,9375 , m^2 cdot K/W
Rv = 0,0051,4 = 0,00357 , m^2 cdot K/W
Rtotal = 0,2778 + 0,9375 + 0,00357 approx 1,219 , m^2 cdot K/W
Então,

Passo 6

Com a resistência térmica total, a perda de calor com o isolante é:
Qcom isolante = A cdot De
Sem o isolante, tínhamos:
Qsem isolante = 0,18 cdot 400 cdot De

Passo 7

A economia na perda de calor é a diferença entre as perdas sem e com o isolante:
De
Isso significa que estamos perdendo 1111,2 vezes a diferença de temperatura a menos por segundo.

Passo 8

Para converter essa economia de potência (W) para energia mensal, precisamos multiplicar pela quantidade de tempo. Considerando que E = De e que há E = 1111,2 cdot De dias no mês:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos converter a energia para megajoules (MJ):
E = 2,88 times 10^910^6 cdot De

Passo 10

Considerando a eficiência da caldeira ( Egás = Eeta = 2880 cdot De), a energia fornecida pelo gás natural é:
á

Passo 11

O custo do gás natural é 0,07 ) por MJ, então a economia mensal é: [ Economia = Egás cdot Cg = 3390 cdot De por MJ, então a economia mensal é:
á

Resposta

A economia mensal obtida pela aplicação do isolante nas paredes do dormitório é aproximadamente vezes a diferença de temperatura em Kelvin.

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