Um reservatório esférico de polipropileno ( k=0,25 W / m K ) de 8 m de diâmetro interno e 15 cm de espessura é usado para armazenar água com gelo a 0^circ C. O reservatório está situado em uma sala cuja temperatura é 25^circ C. Os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa do tanque são 60 W /(m^2 K) e 10 W /(m^2 K), respectivamente. (Desconsidere os efeitos da transferência de calor por radiação) Calcule a taxa de transferência de calor para a água com gelo no interior do tanque.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um reservatório esférico feito de polipropileno que está armazenando água com gelo a 0°C. O diâmetro interno do reservatório é de 8 metros, e a espessura das paredes é de 15 cm. Esse reservatório está numa sala que está a 25°C. Temos também os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa: 60 W/(m²·K) e 10 W/(m²·K), respectivamente. Nosso objetivo aqui é calcular a taxa de transferência de calor para a água com gelo dentro do tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor, aplicando as fórmulas apropriadas para transferência de calor em sistemas em série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as áreas envolvidas. O reservatório é esférico, então precisamos calcular a área da superfície interna e externa. O diâmetro interno é de 8 metros, então o raio interno (r_i) é de 4 metros. A área da superfície interna (A_i) de uma esfera é dada por A = 4πr². Então:
Ai = 4 pi (4 , m)^2 = 4 pi times 16 , m^2 = 64pi , m^2

Passo 3

Agora, a espessura das paredes é de 15 cm, ou seja, 0,15 metros. Então, o raio externo (r_e) será o raio interno mais a espessura:
re = ri + espessura = 4 , m + 0,15 , m = 4,15 , m
E a área da superfície externa (A_e) será:
Ae = 4 pi (4,15 , m)^2 approx 4 pi times 17,2225 , m^2 approx 68,89pi , m^2

Passo 4

A taxa de transferência de calor (Q) pode ser calculada considerando as resistências térmicas em série: a convecção interna, a condução pelas paredes e a convecção externa. A fórmula geral para resistências térmicas em série é:
Q = De
Onde é a diferença de temperatura (25°C - 0°C = 25°C) e é a soma das resistências térmicas individuais.

Passo 5

Vamos calcular cada resistência térmica:
  1. Resistência convectiva interna (R_conv_i):
Rconvi = 1hi times Ai = 160 , W/(m^2·K) times 64pi , m^2 = 13840pi , K/W
  1. Resistência condutiva (R_cond):
Para condução em esfera, a resistência é dada por:
Rcond = 14 pi k ( 1ri - 1re )^-1
Substituindo os valores:
Rcond = 14 pi times 0,25 , W/(m·K) ( 14 - 14,15 )^-1
Calculando os parênteses:
14 - 14,15 approx 0,25 - 0,24096 = 0,00904 , m^-1
Então:
Rcond = 1pi times 1 times 10,00904 approx 13,1416 times 110,62 approx 35,2 , K/W
  1. Resistência convectiva externa (R_conv_e):
Rconve = 1he times Ae = 110 , W/(m^2·K) times 68,89pi , m^2 = 1688,9pi , K/W

Passo 6

Agora, somamos todas as resistências para obter a resistência total:
Rtotal = Rconvi + Rcond + Rconve
Substituindo os valores:
Rtotal = 13840pi + 35,2 + 1688,9pi
Calculando as frações:
13840pi approx 8,26 times 10^-5 , K/W
1688,9pi approx 4,62 times 10^-4 , K/W
Então:
Rtotal approx 8,26 times 10^-5 + 35,2 + 4,62 times 10^-4 approx 35,2005 , K/W

Passo 7

Finalmente, usamos a fórmula da taxa de transferência de calor:
Q = De

Resposta

A taxa de transferência de calor para a água com gelo no interior do tanque é de aproximadamente 0,71 W.

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