Um reservatório esférico de polipropileno ( ) de 8 m de diâmetro interno e 15 cm de espessura é usado para armazenar água com gelo a . O reservatório está situado em uma sala cuja temperatura é . Os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa do tanque são e , respectivamente. (Desconsidere os efeitos da transferência de calor por radiação) Calcule a taxa de transferência de calor para a água com gelo no interior do tanque.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um reservatório esférico feito de polipropileno que está armazenando água com gelo a 0°C. O diâmetro interno do reservatório é de 8 metros, e a espessura das paredes é de 15 cm. Esse reservatório está numa sala que está a 25°C. Temos também os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa: 60 W/(m²·K) e 10 W/(m²·K), respectivamente. Nosso objetivo aqui é calcular a taxa de transferência de calor para a água com gelo dentro do tanque. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor, aplicando as fórmulas apropriadas para transferência de calor em sistemas em série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as áreas envolvidas. O reservatório é esférico, então precisamos calcular a área da superfície interna e externa. O diâmetro interno é de 8 metros, então o raio interno (r_i) é de 4 metros. A área da superfície interna (A_i) de uma esfera é dada por A = 4πr². Então:

Passo 3

Agora, a espessura das paredes é de 15 cm, ou seja, 0,15 metros. Então, o raio externo (r_e) será o raio interno mais a espessura:
E a área da superfície externa (A_e) será:

Passo 4

A taxa de transferência de calor (Q) pode ser calculada considerando as resistências térmicas em série: a convecção interna, a condução pelas paredes e a convecção externa. A fórmula geral para resistências térmicas em série é:
Onde é a diferença de temperatura (25°C - 0°C = 25°C) e é a soma das resistências térmicas individuais.

Passo 5

Vamos calcular cada resistência térmica:
  1. Resistência convectiva interna (R_conv_i):
  1. Resistência condutiva (R_cond):
Para condução em esfera, a resistência é dada por:
Substituindo os valores:
Calculando os parênteses:
Então:
  1. Resistência convectiva externa (R_conv_e):

Passo 6

Agora, somamos todas as resistências para obter a resistência total:
Substituindo os valores:
Calculando as frações:
Então:

Passo 7

Finalmente, usamos a fórmula da taxa de transferência de calor:

Resposta

A taxa de transferência de calor para a água com gelo no interior do tanque é de aproximadamente 0,71 W.

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