Para objetos pequenos caindo devagar, a resistência do ar proporcional à velocidade é uma boa aproximação. Para objetos maiores caindo mais rapidamente, uma hipótese mais precisa é de que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade.
(b) Resolva esta equação diferencial supondo que a velocidade inicial é zero. Res:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a velocidade de um objeto que está caindo muda com o tempo, levando em conta a resistência do ar. Aqui, a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade, ideal para objetos grandes que caem rápido. A gente precisa resolver essa equação sabendo que a velocidade inicial é zero. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que representa essa situação. A força resultante agindo no objeto é a diferença entre a força da gravidade (mg) e a resistência do ar (k*v²). Segundo a segunda lei de Newton, essa força resultante é igual à massa (m) vezes a aceleração (dv/dt). Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por m:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis v e t para integrar.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para separar v e t:
Agora, a gente vai integrar os dois lados dessa equação. A esquerda em relação a v e a direita em relação a t.
Passo 5
Antes de integrar, vamos simplificar a expressão da esquerda. Vamos fatorar o denominador:
Então, a integral fica:
Podemos tirar o g da integral da esquerda:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral da esquerda. A forma da integral é semelhante a ∫ dx/(1 - a x²), cuja solução envolve funções hiperbólicas ou logarítmicas. Vamos usar uma substituição para facilitar.
Seja:
Então, temos:
A integral de 1/(1 - a v²) dv é:
Passo 7
Substituindo de volta o valor de a, temos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Agora, vamos resolver para v. Primeiro, isolamos o logaritmo:
Elevando ambos os lados como potência de e:
Passo 9
Vamos chamar de uma nova constante . Então:
Resolvendo para v:
Passo 10
Finalmente, aplicamos a condição inicial :
Para que isso seja verdade, o numerador deve ser zero: