(a) Determine o comportamento da solução quando
. Res:
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
O que a gente precisa descobrir é como a solução dessa equação se comporta quando
tende para o infinito. Ou seja, queremos saber o valor que
se aproxima quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A derivada de
em relação a
, denotada por
, depende de
, de
, e de
.
Para analisar o comportamento de
quando
vai para o infinito, vamos olhar para os termos que dominam nessa situação. Quando
é muito grande, o
no denominador pode ser aproximado por
, já que o
se torna desprezível comparado ao
.
Passo 3
Com essa aproximação, a equação fica:
Agora, temos uma equação mais simples:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial separável, onde podemos separar as variáveis
e
. Mas, como estamos interessados no comportamento quando
vai para o infinito, podemos considerar os valores estáveis para
.
Os pontos de equilíbrio ocorrem quando
:
Isso acontece quando
ou
.
Passo 5
Agora, analisamos a estabilidade desses pontos. Se
está perto de 0, a derivada
será positiva (pois
será aproximadamente 4), então
aumentará.
Se
está perto de 4, a derivada
será zero, indicando que
se estabiliza nesse valor.
Passo 6
Como o valor inicial
, e o
tende a aumentar se estiver abaixo de 4 e se estabiliza em 4, concluímos que conforme
tende para o infinito,
se aproxima de 4.
Resposta
Quando
tende para o infinito,
se aproxima de 4.