y' = t * y * (4 - y) / (1 + t), y(0) = y0 > 0
(a) Determine o comportamento da solução quando t -> infinito. Res: y -> 4 quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
O que a gente precisa descobrir é como a solução dessa equação se comporta quando tende para o infinito. Ou seja, queremos saber o valor que se aproxima quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. A derivada de em relação a , denotada por , depende de , de , e de .
Para analisar o comportamento de quando vai para o infinito, vamos olhar para os termos que dominam nessa situação. Quando é muito grande, o no denominador pode ser aproximado por , já que o se torna desprezível comparado ao .

Passo 3

Com essa aproximação, a equação fica:
Agora, temos uma equação mais simples:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial separável, onde podemos separar as variáveis e . Mas, como estamos interessados no comportamento quando vai para o infinito, podemos considerar os valores estáveis para .
Os pontos de equilíbrio ocorrem quando :
Isso acontece quando ou .

Passo 5

Agora, analisamos a estabilidade desses pontos. Se está perto de 0, a derivada será positiva (pois será aproximadamente 4), então aumentará.
Se está perto de 4, a derivada será zero, indicando que se estabiliza nesse valor.

Passo 6

Como o valor inicial , e o tende a aumentar se estiver abaixo de 4 e se estabiliza em 4, concluímos que conforme tende para o infinito, se aproxima de 4.

Resposta

Quando tende para o infinito, se aproxima de 4.

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