Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja:
Isso nos ajuda a encontrar as soluções gerais da equação sem o termo não homogêneo
.
Passo 3
Para encontrar as soluções da equação homogênea, vamos supor que a solução tem a forma
. Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Resolvendo a equação característica:
Então, as soluções da parte homogênea são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método de variação dos parâmetros. O método diz que se temos duas soluções
e
da homogênea, então a solução particular pode ser escrita como:
Onde
e
são funções que vamos determinar. Primeiro, calculamos as derivadas:
Mas para simplificar, impomos a condição:
Isso reduz a expressão de
e
, facilitando os cálculos. Após substituir e resolver, encontramos:
Onde
é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Calculando
e
:
Então, a solução particular fica:
Passo 5
Finalmente, combinamos a solução geral da homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva o problema de valor inicial
para
.
Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido
se o campo elétrico for
Resolva as equações exponenciais:
c)
c)