Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido
se o campo elétrico for
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício usando a Lei de Gauss para encontrar a carga contida em um hemisfério sólido definido pela equação
, onde
. O campo elétrico dado é
. Para isso, precisamos entender a Lei de Gauss e como aplicá-la em uma distribuição de carga com simetria específica.
Passo 2
Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Matemáticamente, é expressa como:
Onde:
-
é o fluxo elétrico através da superfície . -
é a carga total dentro da superfície. -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Escolhendo a Superfície Gaussiana:
Para facilitar os cálculos, escolhemos uma superfície Gaussiana que tenha a mesma simetria do problema. Neste caso, como estamos lidando com um hemisfério, consideramos a própria superfície do hemisfério
, com
.
Passo 4
Calculando o Fluxo Elétrico:
Vamos calcular o fluxo elétrico
através da superfície Gaussiana. O fluxo é dado por:
Considerando que a superfície é o hemisfério, precisamos também incluir a base plana do hemisfério para fechar a superfície. Assim, temos duas partes:
- A superfície curva do hemisfério.
- A base plana circular.
Passo 5
Fluxo na Superfície Curva:
Para a superfície curva, o vetor de área
é radial e aponta para fora. Então,
, onde
é o vetor unitário na direção radial.
O campo elétrico
.
Expressando em coordenadas esféricas:
Então,
O produto escalar
em coordenadas esféricas é:
Simplificando:
O fluxo através da superfície curva é:
Passo 6
Integrando o Fluxo:
Calculamos as integrais separadamente:
Somando:
Portanto:
Como
:
Passo 7
Fluxo na Base Plana:
Na base plana, o vetor de área
aponta na direção
(para dentro do hemisfério). O campo elétrico na base é:
(porque
na base).
O produto escalar
.
Portanto, o fluxo na base plana é zero:
Passo 8
Calculando a Carga Total:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resposta
A carga contida no hemisfério é
.
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