Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, z >= 0 se o campo elétrico for
E(x, y, z) = x i + y j + 2 z k
3^8 * pi * a^3 * epsilon_0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício usando a Lei de Gauss para encontrar a carga contida em um hemisfério sólido definido pela equação , onde . O campo elétrico dado é . Para isso, precisamos entender a Lei de Gauss e como aplicá-la em uma distribuição de carga com simetria específica.

Passo 2

Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. Matemáticamente, é expressa como:
Onde:
  • é o fluxo elétrico através da superfície .
  • é a carga total dentro da superfície.
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Escolhendo a Superfície Gaussiana:
Para facilitar os cálculos, escolhemos uma superfície Gaussiana que tenha a mesma simetria do problema. Neste caso, como estamos lidando com um hemisfério, consideramos a própria superfície do hemisfério , com .

Passo 4

Calculando o Fluxo Elétrico:
Vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície Gaussiana. O fluxo é dado por:
Considerando que a superfície é o hemisfério, precisamos também incluir a base plana do hemisfério para fechar a superfície. Assim, temos duas partes:
  1. A superfície curva do hemisfério.
  2. A base plana circular.

Passo 5

Fluxo na Superfície Curva:
Para a superfície curva, o vetor de área é radial e aponta para fora. Então, , onde é o vetor unitário na direção radial.
O campo elétrico .
Expressando em coordenadas esféricas:
Então,
O produto escalar em coordenadas esféricas é:
Simplificando:
O fluxo através da superfície curva é:

Passo 6

Integrando o Fluxo:
Calculamos as integrais separadamente:
Somando:
Portanto:
Como :

Passo 7

Fluxo na Base Plana:
Na base plana, o vetor de área aponta na direção (para dentro do hemisfério). O campo elétrico na base é:
(porque na base).
O produto escalar .
Portanto, o fluxo na base plana é zero:

Passo 8

Calculando a Carga Total:
Aplicando a Lei de Gauss:

Resposta

A carga contida no hemisfério é .

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y'' - 2/x y' + 2/x^2 y = x e^x
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