Duas barras com:
- Comprimento de 0,8m;
- Área da seção transversal igual a
e
- Força axial aplicada de 8 kN ;
São fabricadas de materiais diferentes:
- Barra de Cobre: Módulo de elasticidade de 120 GPa, e
- Barra de Titânio: Módulo de elasticidade de 110 GPa.
Pede-se:
b) Qual dos materiais armazena mais energia para a mesma força aplicada e por quê?
São fabricadas de materiais diferentes:
Pede-se:
b) Qual dos materiais armazena mais energia para a mesma força aplicada e por quê?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos duas barras, cada uma com 0,8 metros de comprimento, área de seção transversal de
e uma força axial de 8 kN aplicada. Uma é de cobre com módulo de elasticidade de 120 GPa e a outra é de titânio com 110 GPa. A pergunta é: Qual dos materiais armazena mais energia para a mesma força aplicada e por quê?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia armazenada em materiais submetidos a forças e como o módulo de elasticidade influencia isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa energia armazenada nessa situação. Quando uma força é aplicada a uma barra, ela deforma um pouquinho. Essa deformação faz com que energia seja armazenada no material, chamada de energia de deformação ou energia elástica.
Passo 3
A fórmula para calcular a energia armazenada $ U $ em uma barra submetida a uma força axial $ F $ é:
Onde:
- $ F $ é a força aplicada,
- $ L $ é o comprimento da barra,
- $ A $ é a área da seção transversal,
- $ E $ é o módulo de elasticidade do material.
Passo 4
Vamos identificar os valores que já temos:
- Força $ F = 8 , kN = 8000 , N $ (convertendo para Newtons),
- Comprimento $ L = 0,8 , m $,
- Área $ A = 2 , cm^2 = 2 \times 10^{-4} , m^2 $ (convertendo para metros quadrados),
- Módulo de elasticidade do cobre $ E_{cobre} = 120 , GPa = 120 \times 10^9 , Pa $,
- Módulo de elasticidade do titânio $ E_{titânio} = 110 , GPa = 110 \times 10^9 , Pa $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia armazenada para cada material usando a fórmula:
Para o cobre:
Para o titânio:
Passo 6
Podemos simplificar as expressões antes de calcular:
Primeiro, notamos que $ F^2 L $ e $ 2 A $ são os mesmos para ambos os materiais. A única diferença está no módulo de elasticidade $ E $.
Isso significa que a energia armazenada é inversamente proporcional ao módulo de elasticidade. Ou seja:
Passo 7
Como o titânio tem um módulo de elasticidade menor ($ 110 , GPa
120 , GPa $), isso implica que:
Logo, a energia armazenada no titânio será maior que a do cobre para a mesma força aplicada.
Resposta
O titânio armazena mais energia para a mesma força aplicada porque possui um módulo de elasticidade menor, o que resulta em maior energia de deformação.