Duas barras com:
  • Comprimento de 0,8m;
  • Área da seção transversal igual a 2 cm^2 e
  • Força axial aplicada de 8 kN ;
    São fabricadas de materiais diferentes:
  • Barra de Cobre: Módulo de elasticidade de 120 GPa, e
  • Barra de Titânio: Módulo de elasticidade de 110 GPa.
    Pede-se:
    b) Qual dos materiais armazena mais energia para a mesma força aplicada e por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos duas barras, cada uma com 0,8 metros de comprimento, área de seção transversal de 2 , cm^2 e uma força axial de 8 kN aplicada. Uma é de cobre com módulo de elasticidade de 120 GPa e a outra é de titânio com 110 GPa. A pergunta é: Qual dos materiais armazena mais energia para a mesma força aplicada e por quê?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia armazenada em materiais submetidos a forças e como o módulo de elasticidade influencia isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa energia armazenada nessa situação. Quando uma força é aplicada a uma barra, ela deforma um pouquinho. Essa deformação faz com que energia seja armazenada no material, chamada de energia de deformação ou energia elástica.

Passo 3

A fórmula para calcular a energia armazenada $ U $ em uma barra submetida a uma força axial $ F $ é:
U
Onde:
  • $ F $ é a força aplicada,
  • $ L $ é o comprimento da barra,
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ E $ é o módulo de elasticidade do material.

Passo 4

Vamos identificar os valores que já temos:
  • Força $ F = 8 , kN = 8000 , N $ (convertendo para Newtons),
  • Comprimento $ L = 0,8 , m $,
  • Área $ A = 2 , cm^2 = 2 \times 10^{-4} , m^2 $ (convertendo para metros quadrados),
  • Módulo de elasticidade do cobre $ E_{cobre} = 120 , GPa = 120 \times 10^9 , Pa $,
  • Módulo de elasticidade do titânio $ E_{titânio} = 110 , GPa = 110 \times 10^9 , Pa $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia armazenada para cada material usando a fórmula:
Para o cobre:
Ucobre = (8000)^2 times 0,82 times 2 times 10^-4 times 120 times 10^9
Para o titânio:
Utitânio = (8000)^2 times 0,82 times 2 times 10^-4 times 110 times 10^9 â

Passo 6

Podemos simplificar as expressões antes de calcular:
Primeiro, notamos que $ F^2 L $ e $ 2 A $ são os mesmos para ambos os materiais. A única diferença está no módulo de elasticidade $ E $.
Isso significa que a energia armazenada é inversamente proporcional ao módulo de elasticidade. Ou seja:
F^2 L

Passo 7

Como o titânio tem um módulo de elasticidade menor ($ 110 , GPa 110 , GPa 120 , GPa $), isso implica que:
120 , GPa â
Logo, a energia armazenada no titânio será maior que a do cobre para a mesma força aplicada.

Resposta

O titânio armazena mais energia para a mesma força aplicada porque possui um módulo de elasticidade menor, o que resulta em maior energia de deformação.

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