Um tubo de aço com diâmetro externo de
é usado para transmitir
quando gira a 45 rpm. Determine o diâmetro interno
do tubo se a tensão de cisalhamento admissível for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as informações de um tubo de aço que está transmitindo uma potência de 4,5 kW a uma velocidade de 45 rpm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o diâmetro interno desse tubo, sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 75 MPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados ao torque e à tensão de corte em um eixo circular.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o torque (T) que está sendo transmitido pelo tubo. Sabemos que a potência § está relacionada ao torque pela fórmula:
onde:
- $ P $ é a potência em watts,
- $ T $ é o torque em Newton-metros (N·m),
- $ \omega $ é a velocidade angular em radianos por segundo.
Mas, a velocidade que temos está em rotações por minuto (rpm), então vamos converter para rad/s:
onde $ n $ é a rotação em rpm.
Substituindo os valores:
- $ P = 4500 , W $ (pois 4,5 kW = 4500 W),
- $ n = 45 , rpm $,
temos:
Agora, isolando o torque:
Passo 3
Agora que temos o torque, vamos relacioná-lo com a tensão de cisalhamento admissível para encontrar o diâmetro interno do tubo. A fórmula que relaciona torque, tensão de cisalhamento ($ \tau $), e as dimensões do tubo é:
onde:
- $ \tau $ é a tensão de cisalhamento,
- $ T $ é o torque,
- $ c $ é a distância do centro até a superfície externa (raio externo),
- $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.
Para um tubo circular, o momento polar de inércia ($ J $) é dado por:
onde:
- $ D $ é o diâmetro externo,
- $ d $ é o diâmetro interno.
Sabemos que $ c = \frac{D}{2} $, então podemos substituir na equação da tensão:
Isolando $ d^4 $:
Agora, substituímos os valores conhecidos:
- $ D = 6,25 , mm = 0,00625 , m $,
- $ T \approx 954,93 , N·m $,
- $ \tau = 75 \times 10^6 , Pa $ (pois 75 MPa = 75 x 10⁶ Pa).
Passo 4
Vamos calcular $ d^4 $:
Primeiro, calculamos $ D^4 $:
Agora, calculamos $ \frac{16 T D \tau}{\pi} $:
Primeiro, multiplicamos os numeradores:
Agora, dividimos por $ \pi $:
Então:
Aqui percebemos que houve um erro de magnitude nos cálculos anteriores. Vamos revisar os passos para garantir a coerência das unidades.
Passo 5
Reanalisando as unidades, percebemos que o diâmetro estava em metros, e a tensão em pascals, resultando em uma diferença extrema nas potências de 10. Para evitar confusões, vamos trabalhar todos os valores em milímetros:
- $ D = 6,25 , mm $,
- $ T = 954,93 , N·m = 954930 , N·mm $ (já que 1 m = 1000 mm),
- $ \tau = 75 , MPa = 75 \times 10^6 , N/m^2 = 75 , N/mm^2 $.
Agora recalculamos $ D^4 $:
E $ \frac{16 T D \tau}{\pi} $:
Calculando os numeradores:
Agora, dividindo por $ \pi $:
Agora, calculamos $ d^4 $:
Isso resulta em um valor negativo para $ d^4 $, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que os parâmetros fornecidos podem não ser compatíveis ou que houve algum erro nos cálculos. Vamos verificar novamente.
Passo 6
Vamos revisar a fórmula usada para a tensão de cisalhamento. Parece que houve um equívoco na aplicação da fórmula para tubos ocos. A fórmula correta para a tensão de cisalhamento máxima em um tubo oco é:
Onde:
- $ r_o $ é o raio externo,
- $ J $ é o momento polar de inércia.
Para um tubo oco:
Vamos reescrever a equação:
Isolando $ r_i^4 $:
Simplificando:
Agora, vamos converter as grandezas para milímetros:
- Diâmetro externo $ D = 6,25 , mm $, logo $ r_o = 3,125 , mm $,
- Torque $ T = 954930 , N·mm $,
- Tensão de cisalhamento $ \tau = 75 , N/mm^2 $.
Substituindo na fórmula:
Calculando cada parte:
E:
Então:
Novamente, obtemos um valor negativo, o que indica que os parâmetros fornecidos não são compatíveis para que o tubo suporte a potência e a velocidade dadas sem exceder a tensão de cisalhamento admissível. Isso pode significar que, com os dados fornecidos, não é possível determinar um diâmetro interno que atenda às condições estabelecidas.
Resposta
Pela análise realizada, os parâmetros fornecidos indicam que não é possível determinar um diâmetro interno que satisfaça a tensão de cisalhamento admissível de 75 MPa para os dados de potência e velocidade informados.