Um tubo de aço com diâmetro externo de 6 2 , 5 m m é usado para transmitir 4,5 k W quando gira a 45 rpm. Determine o diâmetro interno d do tubo se a tensão de cisalhamento admissível for tauadm=75 MPa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as informações de um tubo de aço que está transmitindo uma potência de 4,5 kW a uma velocidade de 45 rpm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o diâmetro interno desse tubo, sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 75 MPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados ao torque e à tensão de corte em um eixo circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o torque (T) que está sendo transmitido pelo tubo. Sabemos que a potência § está relacionada ao torque pela fórmula:
P = T cdot omega
onde:
  • $ P $ é a potência em watts,
  • $ T $ é o torque em Newton-metros (N·m),
  • $ \omega $ é a velocidade angular em radianos por segundo.
Mas, a velocidade que temos está em rotações por minuto (rpm), então vamos converter para rad/s:
P
onde $ n $ é a rotação em rpm.
Substituindo os valores:
  • $ P = 4500 , W $ (pois 4,5 kW = 4500 W),
  • $ n = 45 , rpm $,
temos:
T
Agora, isolando o torque:
omega

Passo 3

Agora que temos o torque, vamos relacioná-lo com a tensão de cisalhamento admissível para encontrar o diâmetro interno do tubo. A fórmula que relaciona torque, tensão de cisalhamento ($ \tau $), e as dimensões do tubo é:
tau
onde:
  • $ \tau $ é a tensão de cisalhamento,
  • $ T $ é o torque,
  • $ c $ é a distância do centro até a superfície externa (raio externo),
  • $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.
Para um tubo circular, o momento polar de inércia ($ J $) é dado por:
tau = T cdot cJ
onde:
  • $ D $ é o diâmetro externo,
  • $ d $ é o diâmetro interno.
Sabemos que $ c = \frac{D}{2} $, então podemos substituir na equação da tensão:
tau
Isolando $ d^4 $:
T
c
J
J
Agora, substituímos os valores conhecidos:
  • $ D = 6,25 , mm = 0,00625 , m $,
  • $ T \approx 954,93 , N·m $,
  • $ \tau = 75 \times 10^6 , Pa $ (pois 75 MPa = 75 x 10⁶ Pa).

Passo 4

Vamos calcular $ d^4 $:
Primeiro, calculamos $ D^4 $:
d^4
Agora, calculamos $ \frac{16 T D \tau}{\pi} $:
D^4
Primeiro, multiplicamos os numeradores:
D^4 = (0,00625)^4 = 1,52587890625 times 10^-9 , m^4
16 T D taupi
16 times 954,93 times 0,00625 times 75 times 10^6pi approx 16 times 954,93 times 0,00625 times 75 times 10^63,1416
Agora, dividimos por $ \pi $:
16 times 954,93 = 15.278,88
Então:
15.278,88 times 0,00625 = 95,18175
Aqui percebemos que houve um erro de magnitude nos cálculos anteriores. Vamos revisar os passos para garantir a coerência das unidades.

Passo 5

Reanalisando as unidades, percebemos que o diâmetro estava em metros, e a tensão em pascals, resultando em uma diferença extrema nas potências de 10. Para evitar confusões, vamos trabalhar todos os valores em milímetros:
  • $ D = 6,25 , mm $,
  • $ T = 954,93 , N·m = 954930 , N·mm $ (já que 1 m = 1000 mm),
  • $ \tau = 75 , MPa = 75 \times 10^6 , N/m^2 = 75 , N/mm^2 $.
Agora recalculamos $ D^4 $:
D = 6,25 , mm
E $ \frac{16 T D \tau}{\pi} $:
T = 954,93 , N·m = 954930 , N·mm
Calculando os numeradores:
tau = 75 , MPa = 75 times 10^6 , N/m^2 = 75 , N/mm^2
D^4
D^4 = (6,25)^4 = 1506,25 , mm^4
Agora, dividindo por $ \pi $:
16 T D taupi
Agora, calculamos $ d^4 $:
16 times 954930 times 6,25 times 753,1416
Isso resulta em um valor negativo para $ d^4 $, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que os parâmetros fornecidos podem não ser compatíveis ou que houve algum erro nos cálculos. Vamos verificar novamente.

Passo 6

Vamos revisar a fórmula usada para a tensão de cisalhamento. Parece que houve um equívoco na aplicação da fórmula para tubos ocos. A fórmula correta para a tensão de cisalhamento máxima em um tubo oco é:
tau = T cdot roJ
Onde:
  • $ r_o $ é o raio externo,
  • $ J $ é o momento polar de inércia.
Para um tubo oco:
ro
Vamos reescrever a equação:
J
Isolando $ r_i^4 $:
J = pi2 (ro^4 - ri^4)
tau = T cdot ropi2 (ro^4 - ri^4)
ri^4
tau cdot pi2 (ro^4 - ri^4) = T cdot ro
Simplificando:
tau cdot pi2 ro^4 - tau cdot pi2 ri^4 = T cdot ro
Agora, vamos converter as grandezas para milímetros:
  • Diâmetro externo $ D = 6,25 , mm $, logo $ r_o = 3,125 , mm $,
  • Torque $ T = 954930 , N·mm $,
  • Tensão de cisalhamento $ \tau = 75 , N/mm^2 $.
Substituindo na fórmula:
-tau cdot pi2 ri^4 = T cdot ro - tau cdot pi2 ro^4
Calculando cada parte:
ri^4 = tau cdot pi2 ro^4 - T cdot rotau cdot pi2
E:
ri^4 = ro^4 - 2 Tpi tau ro
Então:
D = 6,25 , mm
Novamente, obtemos um valor negativo, o que indica que os parâmetros fornecidos não são compatíveis para que o tubo suporte a potência e a velocidade dadas sem exceder a tensão de cisalhamento admissível. Isso pode significar que, com os dados fornecidos, não é possível determinar um diâmetro interno que atenda às condições estabelecidas.

Resposta

Pela análise realizada, os parâmetros fornecidos indicam que não é possível determinar um diâmetro interno que satisfaça a tensão de cisalhamento admissível de 75 MPa para os dados de potência e velocidade informados.

Exercícios relacionados