Duas bolas de massa
e uma de massa
, todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa
por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa
. Inicialmente, a velocidade angular do sistema é
, quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Determine o momento de inércia do sistema.
Determine o momento de inércia do sistema.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de bolas conectadas: duas bolas de massa
e uma bola de massa
estão presas a uma quarta bola de massa
por hastes finas e leves. Esse sistema gira em torno de um eixo que passa pelo centro da bola de massa
com uma velocidade angular inicial
. Quando o sistema começa a desacelerar com uma aceleração angular constante
, precisamos determinar o momento de inércia total do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o momento de inércia, como calcular para objetos pontuais e como somar os momentos de inércia de diferentes partes do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para mudar a velocidade angular do objeto.
A fórmula para o momento de inércia de um objeto pontual (uma massa concentrada em um ponto) que gira a uma distância
do eixo de rotação é:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a distância do objeto ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula às bolas do nosso sistema. Temos:
- Duas bolas de massa
cada. - Uma bola de massa
. - Uma bola central de massa
que está no eixo de rotação.
Assumindo que todas as hastes têm o mesmo comprimento
, a distância de cada bola ao eixo é
.
Primeiro, calculamos o momento de inércia de cada bola:
- Para cada uma das duas bolas de massa
:
Como são duas bolas, multiplicamos por 2:
- Para a bola de massa
:
- A bola central de massa
está no eixo de rotação, então sua distância , e seu momento de inércia é:
Passo 4
Agora, somamos todos os momentos de inércia para obter o momento de inércia total do sistema:
Simplificando:
Resposta
O momento de inércia total do sistema é
.