Duas bolas de massa e uma de massa , todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa . Inicialmente, a velocidade angular do sistema é , quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Determine o momento de inércia do sistema.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de bolas conectadas: duas bolas de massa e uma bola de massa estão presas a uma quarta bola de massa por hastes finas e leves. Esse sistema gira em torno de um eixo que passa pelo centro da bola de massa com uma velocidade angular inicial . Quando o sistema começa a desacelerar com uma aceleração angular constante , precisamos determinar o momento de inércia total do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o momento de inércia, como calcular para objetos pontuais e como somar os momentos de inércia de diferentes partes do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia ( ) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para mudar a velocidade angular do objeto.
A fórmula para o momento de inércia de um objeto pontual (uma massa concentrada em um ponto) que gira a uma distância do eixo de rotação é:
onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a distância do objeto ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula às bolas do nosso sistema. Temos:
  1. Duas bolas de massa cada.
  2. Uma bola de massa .
  3. Uma bola central de massa que está no eixo de rotação.
Assumindo que todas as hastes têm o mesmo comprimento , a distância de cada bola ao eixo é .
Primeiro, calculamos o momento de inércia de cada bola:
  • Para cada uma das duas bolas de massa :
Como são duas bolas, multiplicamos por 2:
  • Para a bola de massa :
  • A bola central de massa está no eixo de rotação, então sua distância , e seu momento de inércia é:

Passo 4

Agora, somamos todos os momentos de inércia para obter o momento de inércia total do sistema:
Simplificando:

Resposta

O momento de inércia total do sistema é .

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