Duas bolas de massa M e uma de massa M / 2, todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa 2 M por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa 2 M. Inicialmente, a velocidade angular do sistema é omega, quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Calcule a energia cinética inicial do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com várias bolas de massas diferentes presas a uma bola central, todas girando em torno de um eixo. O conteúdo principal aqui é energia cinética rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética de um sistema que está girando, o que envolve conceitos como momento de inércia e velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia cinética rotacional. Ela representa a energia que um objeto possui devido ao seu movimento de rotação. A fórmula para calcular essa energia é:
KE = 12 I omega^2
Aqui, é a energia cinética, é o momento de inércia do sistema, e é a velocidade angular.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento de inércia ( I = m r^2 ) do sistema. O momento de inércia depende de como as massas estão distribuídas em relação ao eixo de rotação. Para cada massa pontual, o momento de inércia é dado por:
Onde é a massa e é a distância do ponto onde a massa está em relação ao eixo de rotação.

Passo 4

Vamos identificar todas as massas e suas distâncias ao eixo:
  • Temos uma bola central de massa I = M r^2 . Como ela está no centro, sua distância Iduas bolas = 2 times M r^2 = 2 M r^2 é zero, então o momento de inércia dela também é zero.
  • Há duas bolas de massa I = M2 r^2 cada, e uma bola de massa . Vamos supor que todas estão a uma distância do centro.
Calculando o momento de inércia para cada uma:
  • Para cada bola de massa :
    Como são duas, multiplicamos por 2:
  • Para a bola de massa :

Passo 5

Somando todos os momentos de inércia:
Itotal = Iduas bolas + Ibola M2 = 2 M r^2 + M2 r^2 = (2 + 12) M r^2 = 52 M r^2

Passo 6

Agora que temos o momento de inércia total, podemos calcular a energia cinética inicial do sistema usando a fórmula da energia cinética rotacional:
KE = 12 I omega^2 = 12 times 52 M r^2 times omega^2 = 54 M r^2 omega^2

Resposta

A energia cinética inicial do sistema é .

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