Duas bolas de massa
e uma de massa
, todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa
por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa
. Inicialmente, a velocidade angular do sistema é
, quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Calcule a energia cinética inicial do sistema.
Calcule a energia cinética inicial do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com várias bolas de massas diferentes presas a uma bola central, todas girando em torno de um eixo. O conteúdo principal aqui é energia cinética rotacional. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética de um sistema que está girando, o que envolve conceitos como momento de inércia e velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia cinética rotacional. Ela representa a energia que um objeto possui devido ao seu movimento de rotação. A fórmula para calcular essa energia é:
Aqui,
é a energia cinética,
é o momento de inércia do sistema, e
é a velocidade angular.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o momento de inércia (
) do sistema. O momento de inércia depende de como as massas estão distribuídas em relação ao eixo de rotação. Para cada massa pontual, o momento de inércia é dado por:
Onde
é a massa e
é a distância do ponto onde a massa está em relação ao eixo de rotação.
Passo 4
Vamos identificar todas as massas e suas distâncias ao eixo:
- Temos uma bola central de massa
. Como ela está no centro, sua distância é zero, então o momento de inércia dela também é zero. - Há duas bolas de massa
cada, e uma bola de massa . Vamos supor que todas estão a uma distância do centro.
Calculando o momento de inércia para cada uma:
-
Para cada bola de massa
: Como são duas, multiplicamos por 2: -
Para a bola de massa
:
Passo 5
Somando todos os momentos de inércia:
Passo 6
Agora que temos o momento de inércia total, podemos calcular a energia cinética inicial do sistema usando a fórmula da energia cinética rotacional:
Resposta
A energia cinética inicial do sistema é
.