Duas bolas com massas M e m são conectadas por uma barra rígida de comprimento L e massa desprezível, como mostrado na Figura. Para um eixo perpendicular à barra, (b) mostre que este momento de inércia é
. onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bolas com massas
e
conectadas por uma barra rígida de comprimento
e massa desprezível. A questão pede para mostrarmos que o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular à barra é
, onde
.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e o que é chamado de massa reduzida (
). Vamos resolver passo a passo para entender direitinho como chegar nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra a mudança em seu estado de rotação em torno de um eixo. Para pontos de massa, a fórmula é:
onde
é a massa e
é a distância do ponto ao eixo de rotação.
Passo 3
No nosso caso, temos duas massas
e
localizadas nas extremidades da barra de comprimento
. Como a barra tem massa desprezível, só precisamos considerar o momento de inércia das duas massas.
Vamos supor que o eixo de rotação está no centro da barra. Assim, cada massa está a uma distância de
do eixo.
Passo 4
Aplicando a fórmula do momento de inércia para cada massa:
Para a massa
:
Para a massa
:
Passo 5
Agora, somamos os momentos de inércia das duas massas para obter o momento de inércia total do sistema:
Passo 6
Observamos que
, que é a massa reduzida do sistema. Queremos expressar
em termos de
.
Vamos manipular a expressão de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Agora, reorganizamos a equação para isolar
:
Note que simplificando:
Resposta
Então, mostramos que o momento de inércia do sistema é
, onde
.
Exercícios relacionados
Um bloco de 2 kg está preso à extremidade de uma mola ideal horizontal cuja constante elástica é
. Quando a mola está relaxada, o bloco recebe uma velocidade de
. Qual é a dilatação máxima da mola?
A. 0
B.
C. 5 m
D. 50 m
E. 500 m
A. 0
B.
C. 5 m
D. 50 m
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A.
B.
C.
D. 3,3 J
E. 3, 6 J
A.
B.
C.
D. 3,3 J
E. 3, 6 J
Na Figura, o bloco 1 tem massa
, o bloco
, e a polia, que está montada em um eixo horizontal com atrito desprezível, tem raio
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em
sem que a corda deslize na borda da polia. Qual a energia cinética armazenada na polia no in qual o torque de cada força (
e
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, e o átomo de oxigênio possui massa igual a
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