Duas bolas com massas M e m são conectadas por uma barra rígida de comprimento L e massa desprezível, como mostrado na Figura. Para um eixo perpendicular à barra, (b) mostre que este momento de inércia é . onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bolas com massas e conectadas por uma barra rígida de comprimento e massa desprezível. A questão pede para mostrarmos que o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular à barra é , onde .
Aqui, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e o que é chamado de massa reduzida ( ). Vamos resolver passo a passo para entender direitinho como chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia ( ) é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra a mudança em seu estado de rotação em torno de um eixo. Para pontos de massa, a fórmula é:
onde é a massa e é a distância do ponto ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, temos duas massas e localizadas nas extremidades da barra de comprimento . Como a barra tem massa desprezível, só precisamos considerar o momento de inércia das duas massas.
Vamos supor que o eixo de rotação está no centro da barra. Assim, cada massa está a uma distância de do eixo.

Passo 4

Aplicando a fórmula do momento de inércia para cada massa:
Para a massa :
Para a massa :

Passo 5

Agora, somamos os momentos de inércia das duas massas para obter o momento de inércia total do sistema:

Passo 6

Observamos que , que é a massa reduzida do sistema. Queremos expressar em termos de .
Vamos manipular a expressão de :
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora, reorganizamos a equação para isolar :
Note que simplificando:

Resposta

Então, mostramos que o momento de inércia do sistema é , onde .

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B.
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A.
B.
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