Duas bolas com massas M e m são conectadas por uma barra rígida de comprimento L e massa desprezível, como mostrado na Figura. Para um eixo perpendicular à barra, (b) mostre que este momento de inércia é
. onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bolas com massas
e
conectadas por uma barra rígida de comprimento
e massa desprezível. A questão pede para mostrarmos que o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular à barra é
, onde
.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e o que é chamado de massa reduzida (
). Vamos resolver passo a passo para entender direitinho como chegar nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra a mudança em seu estado de rotação em torno de um eixo. Para pontos de massa, a fórmula é:
onde
é a massa e
é a distância do ponto ao eixo de rotação.
Passo 3
No nosso caso, temos duas massas
e
localizadas nas extremidades da barra de comprimento
. Como a barra tem massa desprezível, só precisamos considerar o momento de inércia das duas massas.
Vamos supor que o eixo de rotação está no centro da barra. Assim, cada massa está a uma distância de
do eixo.
Passo 4
Aplicando a fórmula do momento de inércia para cada massa:
Para a massa
:
Para a massa
:
Passo 5
Agora, somamos os momentos de inércia das duas massas para obter o momento de inércia total do sistema:
Passo 6
Observamos que
, que é a massa reduzida do sistema. Queremos expressar
em termos de
.
Vamos manipular a expressão de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Agora, reorganizamos a equação para isolar
:
Note que simplificando:
Resposta
Então, mostramos que o momento de inércia do sistema é
, onde
.