Duas bolas com massas M e m são conectadas por uma barra rígida de comprimento L e massa desprezível, como mostrado na Figura. Para um eixo perpendicular à barra, (b) mostre que este momento de inércia é I=u L^2. onde mu=m M(m+M).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bolas com massas e conectadas por uma barra rígida de comprimento e massa desprezível. A questão pede para mostrarmos que o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular à barra é , onde .
Aqui, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e o que é chamado de massa reduzida ( ). Vamos resolver passo a passo para entender direitinho como chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia ( I = m cdot r^2 ) é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra a mudança em seu estado de rotação em torno de um eixo. Para pontos de massa, a fórmula é:
onde é a massa e é a distância do ponto ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, temos duas massas e localizadas nas extremidades da barra de comprimento . Como a barra tem massa desprezível, só precisamos considerar o momento de inércia das duas massas.
Vamos supor que o eixo de rotação está no centro da barra. Assim, cada massa está a uma distância de do eixo.

Passo 4

Aplicando a fórmula do momento de inércia para cada massa:
Para a massa IM = M cdot ( L2 )^2 = M cdot L^24 :
Im = m cdot ( L2 )^2 = m cdot L^24
Para a massa :

Passo 5

Agora, somamos os momentos de inércia das duas massas para obter o momento de inércia total do sistema:
I = IM + Im = M cdot L^24 + m cdot L^24 = L^24 (M + m)

Passo 6

Observamos que mu = m Mm + M implies m + M = m Mmu , que é a massa reduzida do sistema. Queremos expressar I = L^24 cdot m Mmu em termos de .
Vamos manipular a expressão de :
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Agora, reorganizamos a equação para isolar I = m Mm + M cdot L^2 cdot 14 cdot 4 :
I = mu L^2
Note que simplificando:

Resposta

Então, mostramos que o momento de inércia do sistema é , onde .

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