Duas bolas são retiradas ao acaso de uma urna que contém 20 alaranjadas, 7 verdes, 10 pretas e 5 brancas. Qual a probabilidade delas serem
a) alaranjada
b) pretas
c) verdes
d) brancas
e) ambas da mesma cor e) pelo menos uma preta?

Passo 1

Então, temos uma urna com 20 bolas alaranjadas, 7 verdes, 10 pretas e 5 brancas, totalizando 20 + 7 + 10 + 5 = 42 bolas. Vamos calcular a probabilidade de tirar duas bolas de uma certa cor ou atender às condições pedidas nos itens a) até e). Para isso, vamos usar os conceitos de combinação e probabilidade.

Passo 2

Item a) Probabilidade das duas bolas serem alaranjadas:
Primeiro, calculamos o número total de maneiras de escolher 2 bolas dentre 42, que é dado pela combinação:
binom422 = 42!2!(42-2)! = 861
Agora, o número de maneiras de escolher 2 bolas alaranjadas dentre 20:
binom202 = 20!2!(20-2)! = 190
A probabilidade é a razão entre essas duas combinações:
P(duas alaranjadas) = 190861 approx 0,2206 ou 22,06%

Passo 3

Item b) Probabilidade das duas bolas serem pretas:
Total de bolas pretas: 10.
Número de maneiras de escolher 2 pretas:
binom102 = 10!2!(10-2)! = 45
A probabilidade:
P(duas pretas) = 45861 approx 0,0523 ou 5,23%

Passo 4

Item c) Probabilidade das duas bolas serem verdes:
Total de bolas verdes: 7.
Número de maneiras de escolher 2 verdes:
binom72 = 7!2!(7-2)! = 21
A probabilidade:
P(duas verdes) = 21861 approx 0,0244 ou 2,44%

Passo 5

Item d) Probabilidade das duas bolas serem brancas:
Total de bolas brancas: 5.
Número de maneiras de escolher 2 brancas:
binom52 = 5!2!(5-2)! = 10
A probabilidade:
P(duas brancas) = 10861 approx 0,0116 ou 1,16%

Passo 6

Item e) Probabilidade das duas bolas serem da mesma cor:
Para que as duas bolas sejam da mesma cor, elas podem ser alaranjadas, pretas, verdes ou brancas. Já calculamos a probabilidade de cada uma dessas situações:
P(mesma cor) = P(duas alaranjadas) + P(duas pretas) + P(duas verdes) + P(duas brancas)
Substituindo pelos valores calculados:
P(mesma cor) = 190861 + 45861 + 21861 + 10861 = 266861 approx 0,3094 ou 30,94%

Passo 7

Item f) Probabilidade de pelo menos uma bola ser preta:
Para calcular essa probabilidade, é mais fácil calcular o complemento, ou seja, a probabilidade de nenhuma das bolas ser preta, e depois subtrair de 1.
Número de bolas que não são pretas: 42 - 10 = 32.
Número de maneiras de escolher 2 bolas que não são pretas:
binom322 = 32!2!(32-2)! = 496
A probabilidade de nenhuma ser preta:
P(nenhuma preta) = 496861 approx 0,5751 ou 57,51%
Então, a probabilidade de pelo menos uma ser preta é:
P(pelo menos uma preta) = 1 - 0,5751 = 0,4249 ou 42,49%

Resposta

A probabilidade de pelo menos uma das bolas ser preta é aproximadamente 42,49%.

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