Duas cargas elétricas positivas são colocadas sobre o eixo nas posições .
Na origem do plano cartesiano coloca-se uma terceira carga negativa .
Calcule o novo vetor campo elétrico ao longo do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três cargas elétricas no plano cartesiano. Temos duas cargas positivas, cada uma com valor , colocadas nos pontos e no eixo . Além disso, colocamos uma terceira carga negativa de na origem, que é o ponto . Nosso objetivo aqui é calcular o vetor campo elétrico resultante ao longo do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Lei de Coulomb: que nos ajuda a calcular o campo elétrico gerado por uma carga.
  • Superposição dos campos elétricos: que nos permite somar os campos gerados por cada carga individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a Lei de Coulomb, que nos diz que o campo elétrico gerado por uma carga pontual em um ponto a uma distância é dado por:
Onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga,
  • é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos identificar as posições das cargas e o ponto onde queremos calcular o campo elétrico. As cargas positivas estão em e , e a carga negativa está na origem . Vamos calcular o campo elétrico na origem pelo menos para entender, porém o enunciado pede ao longo do eixo .

Passo 4

Para calcular o campo elétrico ao longo do eixo , consideramos um ponto genérico no eixo . Precisamos calcular o campo elétrico no ponto devido a cada uma das três cargas e somar vetorialmente esses campos.

Passo 5

Vamos começar pelas cargas positivas em e . A distância de cada uma delas até o ponto é:
O campo elétrico gerado por cada uma dessas cargas positivas no ponto terá uma componente na direção e outra na direção . Porém, devido à simetria, as componentes se cancelam, e apenas as componentes somam.
A componente do campo de cada carga é:
Como são duas cargas positivas, o campo total devido a elas será:

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga negativa na origem. A distância da carga à qualquer ponto no eixo é simplesmente . O campo elétrico gerado por essa carga é:
Como a carga é negativa, o campo aponta na direção oposta ao vetor posição, ou seja, na direção negativa do eixo .

Passo 7

Agora, somamos os campos devido às cargas positivas e negativa para obter o campo elétrico total no ponto :

Resposta

O vetor campo elétrico ao longo do eixo é dado por:
Ou simplificando:

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